《2025年核心素养学练评七年级数学上册人教版》

23. (11 分)如图,点 B,C 在线段 AD 上,$ CD = 2AB + 3 $.
(1)若 C 是线段 AD 的中点,求 $ BC - AB $ 的值；
(2)若 $ BC = \frac{1}{4}AD $,求 $ BC - AB $ 的值；
(3)若线段 AC 上有一点 P(不与点 B 重合),$ AP + AC = DP $,求 BP 的长.

答案： 解:设AB=x,BC=y,则CD=2x+3.
(1)因为点C是AD的中点,所以AC=CD.所以x+y=2x+3.所以y-x=3,即BC-AB=3.
(2)因为BC=$\frac{1}{4}$AD,即AB+CD=3BC,所以x+2x+3=3y,所以y-x=1,即BC-AB=1.
(3)设AP=m,因为AP+AC=DP,所以m+x+y=2x+3+x+y-m.所以m-x=$\frac{3}{2}$,即BP=m-x=$\frac{3}{2}$.

24. (12 分)已知数轴上 A,B,C 三个点对应的数分别是 a,b,c,且满足 $ |a + 24| + |b + 10| + (c - 10)^2 = 0 $；动点 P 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C 移动.
(1)求 a,b,c 的值；
(2)若点 P 到 A 点的距离是到 B 点的距离的 2 倍,求点 P 在数轴上对应的数；
(3)当点 P 运动到 B 点时,点 Q 从 A 点出发,以每秒 3 个单位长度的速度向 C 点运动,Q 点到达 C 点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点 A. 在点 Q 开始运动后第几秒时,P,Q 两点之间的距离为 4？请说明理由.

答案： 解:
(1)因为|a+24|+|b+10|+(c-10)$^{2}$=0,所以a+24=0,b+10=0,c-10=0,解得a=-24,b=-10,c=10.
(2)A,B两点间的距离是-10-(-24)=14.
①点P在点A,B之间时,AP=14×$\frac{2}{2+1}$=$\frac{28}{3}$,-24+$\frac{28}{3}$=-$\frac{44}{3}$,点P在数轴上对应的数是-$\frac{44}{3}$;
②点P在AB的延长线上时,AP=14×2=28,-24+28=4,点P在数轴上对应的数是4.
(3)设在点Q开始运动后第t秒时,P,Q两点之间的距离为4.当P点在Q点的右侧,且Q点还没追上P点时,3t+4=14+t,解得t=5;当P点在Q点左侧,且Q点追上P点,但未到点C时,3t-4=14+t,解得t=9;当Q点到达C点后,P点在Q点左侧时,14+t+4+3t-34=34,解得t=12.5;当Q点到达C点后,P点在Q点右侧时,14+t-4+3t-34=34,解得t=14.5.综上所述,当Q点开始运动后第5或9或12.5或14.5秒时,P,Q两点之间的距离为4.