《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

2. 如图,六边形 $ ABCDEF $ 是 $ \odot O $ 的内接正六边形,若正六边形的面积 $ = 3\sqrt{3} $,则 $ \odot O $ 的面积 = ______。

答案： $2\pi$

例3 如图,$ AD $ 为 $ \odot O $ 的直径,作 $ \odot O $ 的内接正三角形 $ ABC $,甲、乙两人的作法如下,则对于甲、乙两人的作法,可判断( )

甲：①作 $ OD $ 的中垂线,交 $ \odot O $ 于 $ B $,$ C $ 两点；②连接 $ AB $,$ AC $,$ \triangle ABC $ 即为所求。
乙：①以 $ D $ 为圆心、$ OD $ 长为半径作圆弧,交 $ \odot O $ 于 $ B $,$ C $ 两点；②连接 $ AB $,$ BC $,$ CA $,$ \triangle ABC $ 即为所求。

A.甲、乙均正确
B.甲、乙均错误
C.甲正确,乙错误
D.甲错误,乙正确

答案： A

3. 如图,点 $ M $,$ N $ 分别是正八边形 $ ABCDEFGH $ 的边 $ BC $,$ CD $ 上的点,且 $ BM = CN $,$ AM $ 交 $ BN $ 于点 $ P $。

(1) 求证：$ \triangle ABM \cong \triangle BCN $。
(2) 求 $ \angle APN $ 的度数。

答案：
(1)
∵ 正八边形 $ABCDEFGH$,
∴ $AB=BC$, $\angle ABM$
$=\angle C$.
∴ 在$\triangle ABM$ 和$\triangle BCN$ 中, $\begin{cases} AB=BC, \\ \angle ABM=\angle C, \\ BM=CN, \end{cases}$
∴ $\triangle ABM \cong \triangle BCN$.
(2)
∵ $\triangle ABM \cong \triangle BCN$,
∴ $\angle BAM=\angle CBN$.
∵ $\angle BAM+\angle ABP=\angle APN$,
∴ $\angle CBN+\angle ABP=$
$\angle APN=\angle ABC=\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$.