《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例 1 用配方法将下列二次函数化为 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式,写出这些函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
(1) $ y = 2x^2 + 3x $；
(2) $ y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 10 $。

答案： y=2(x+$\frac{3}{4}$)²-$\frac{9}{8}$.开口向上,对称轴是直线x=-$\frac{3}{4}$,顶点是(-$\frac{3}{4}$,-$\frac{9}{8}$).
(2)y=$\frac{1}{2}$(x-4)²+2.开口向上,对称轴是直线x=4,顶点是(4,2).

1. 已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + 5 $。
(1) 将该二次函数化成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式；
(2) 指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(3) 当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？

答案： 1.
(1)y=(x-2)²+1.
(2)对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,1).
(3)x≥2.

例 2 用描点法画出 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 21 $ 的图象。

答案： 1. 开口方向：$a = \frac{1}{2} ＞ 0$，抛物线开口向上。
2. 对称轴：$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 × \frac{1}{2}} = 6$，对称轴为直线$x = 6$。
3. 顶点坐标：将$x = 6$代入函数，$y = \frac{1}{2}(6)^2 - 6 × 6 + 21 = 3$，顶点坐标为$(6, 3)$。
4. 选取对称点：在对称轴$x = 6$两侧取点计算$y$值：
$x = 3$时，$y = \frac{1}{2}(3)^2 - 6 × 3 + 21 = 7.5$，得点$(3, 7.5)$；
$x = 4$时，$y = \frac{1}{2}(4)^2 - 6 × 4 + 21 = 5$，得点$(4, 5)$；
$x = 5$时，$y = \frac{1}{2}(5)^2 - 6 × 5 + 21 = 3.5$，得点$(5, 3.5)$；
$x = 7$时，$y = 3.5$（与$x = 5$对称），得点$(7, 3.5)$；
$x = 8$时，$y = 5$（与$x = 4$对称），得点$(8, 5)$；
$x = 9$时，$y = 7.5$（与$x = 3$对称），得点$(9, 7.5)$。
5. 描点连线：在坐标系中描出点$(3, 7.5)$，$(4, 5)$，$(5, 3.5)$，$(6, 3)$，$(7, 3.5)$，$(8, 5)$，$(9, 7.5)$，用平滑曲线连接各点，得到函数图象。