《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例1 如图,将△ABC绕点C旋转一定角度得到△EDC,∠ACE= 2∠ACB.
(1) 求证：△ADC≌△ABC；
(2) 若AB= BC= 5,AC= 6,求四边形ABCD的面积.

答案：
(1)
∵将△ABC绕点C旋转一定角度得到△EDC,
∴∠ACB=∠DCE,BC=CD.
∵∠ACE=2∠ACB,
∴∠ACE=2∠DCE,
∴∠ACD=∠DCE=∠ACB.
在△ADC与△ABC中,$\left\{\begin{array}{l} BC=CD,\\ ∠ACB=∠ACD,\\ AC=AC,\end{array}\right. $
∴△ADC≌△ABC.
(2)由
(1)知△ADC≌△ABC,
∴AB=AD.
∵AB=BC,BC=CD,
∴AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
设AC,BD交于点O,
$\therefore AO=\frac {1}{2}AC=3,$
$\therefore BO=\sqrt {AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt {5^{2}-3^{2}}=4,$
∴BD=8,
∴四边形ABCD的面积$=\frac {1}{2}AC\cdot BD=\frac {1}{2}×6×8=24.$

1. 如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB= 90°,将Rt△ABE绕点A沿逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于点H.
(1) 试判定四边形AFHE的形状,并说明理由；
(2) 若BH= 7,DH= 17,求BC的长.

答案：

(1)四边形AFHE是正方形.
理由:由旋转得∠AEB=∠AFD =90°,∠EAF=90°,
∴∠AFH=180°−∠AFD=90°,

∴四边形AFHE是矩形.
由旋转得AE=AF,
∴四边形AFHE是正方形.
(2)连接BD,
∵四边形AFHE是正方形，
∴∠EHF=90°,
∴∠DHB=180°−∠EHF=90°.
∵BH=7,DH=17,
∴$BD=\sqrt {DH^{2}+BH^{2}}=\sqrt {17^{2}+7^{2}}=13\sqrt {2}.$
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD,∠C=90°.
设BC=CD=x,
$\therefore \sqrt {x^{2}+x^{2}}=13\sqrt {2},$
∴BC=13.