《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例1 在同一直角坐标系中画出二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $,$ y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 $,$ y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 $ 的图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.

答案： 画出函数图象：
对于 $y = -\frac{1}{2}x^2$：
开口方向：向下。
对称轴：$x=0$（$y$轴）。
顶点：$(0,0)$。
对于 $y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2$：
开口方向：向下。
对称轴：$x = -2$。
顶点：$(-2, 0)$。
对于 $y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2$：
开口方向：向下。
对称轴：$x = 2$。
顶点：$(2, 0)$。
图象为开口向下的抛物线，分别以 $y$ 轴、$x = -2$ 和 $x = 2$ 为对称轴，顶点分别在 $(0,0)$、$(-2,0)$ 和 $(2,0)$。

1. 完成下列表格.
| 函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $ y = -\sqrt{7}x^2 $ | | | |
| $ y = 4(x - \sqrt{5})^2 $ | | | |
| $ y = -(x + 4)^2 $ | | | |

答案： | 函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $ y = -\sqrt{7}x^2 $ | 向下 | $x=0$（y轴） | $(0,0)$ |
| $ y = 4(x - \sqrt{5})^2 $ | 向上 | $x=\sqrt{5}$ | $(\sqrt{5},0)$ |
| $ y = -(x + 4)^2 $ | 向下 | $x=-4$ | $(-4,0)$ |

例2 完成下列表格.
| 函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 增减性 | 最值 |
| $ y = 8x^2 $ | | | | | |
| $ y = 9(x - 7)^2 $ | | | | | |
| $ y = -2(x + 5)^2 $ | | | | | |

答案： | 函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 增减性 | 最值 |
| $ y = 8x^2 $ | 向上 | $x=0$（y轴） | $(0,0)$ | $x＜0$时y随x增大而减小，$x＞0$时y随x增大而增大 | 最小值0 |
| $ y = 9(x - 7)^2 $ | 向上 | $x=7$ | $(7,0)$ | $x＜7$时y随x增大而减小，$x＞7$时y随x增大而增大 | 最小值0 |
| $ y = -2(x + 5)^2 $ | 向下 | $x=-5$ | $(-5,0)$ | $x＜-5$时y随x增大而增大，$x＞-5$时y随x增大而减小 | 最大值0 |

2. 下列关于抛物线 $ y = -(x + 2)^2 + 6 $ 的性质的说法,错误的是( )

A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x = -2 $
C.顶点坐标是 $ (-2, 6) $
D.与 $ x $ 轴没有交点

答案： D

例3 填空：
(1) 将抛物线 $ y = 4(x + 1)^2 $ 向左平移 6 个单位长度后所对应的抛物线解析式为______,此时对称轴是______；
(2) 将抛物线先向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度得到抛物线 $ y = -(x - 1)^2 + 4 $,则原抛物线的解析式为______.

答案：
(1)y=4(x+7)²,直线x=-7
(2)y=-(x-3)²+7