《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例1 如图,关于 $x$ 的二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(1,0)$ 和点 $B$,与 $y$ 轴交于点 $C(0,3)$,抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$.
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 在 $y$ 轴上是否存在一点 $P$,使 $\triangle PBC$ 为等腰三角形？若存在,请求出点 $P$ 的坐标；
(3) 有一个点 $M$ 从点 $A$ 出发,以每秒 $1$ 个单位长度的速度在 $AB$ 上向点 $B$ 运动,另一个点 $N$ 从点 $D$ 出发,以每秒 $2$ 个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动,点 $M$,$N$ 同时出发. 当点 $M$ 到达点 $B$ 时,点 $M$,$N$ 同时停止运动. 点 $M$,$N$ 运动到何处时,$\triangle MNB$ 的面积最大？试求出最大面积.

答案：
(1)把$A(1,0)$和$C(0,3)$代入$y=x^{2}+bx+c$，
$\begin{cases} 1+b+c=0 \\ c=3 \end{cases}$，解得$b=-4$，$c=3$，$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^{2}-4x+3$.
(2)令$y=0$，则$x^{2}-4x+3=0$，解得$x=1$或$x=3$，
$\therefore B(3,0)$，$\therefore BC=3\sqrt{2}$；
点$P$在$y$轴上，当$\triangle PBC$为等腰三角形时分三种情况进行讨论.如图1，
①当$CP=CB$时，$PC=3\sqrt{2}$，$\therefore OP=OC+PC=3+3\sqrt{2}$或$OP=PC-OC=3\sqrt{2}-3$，
$\therefore P_{1}(0,3+3\sqrt{2})$，$P_{2}(0,3-3\sqrt{2})$；
②当$BP=BC$时，$OP=OC=3$，$\therefore P_{3}(0,-3)$；
③当$PB=PC$时，$\because OC=OB=3$，$\therefore$此时$P$与$O$重合，
$\therefore P_{4}(0,0)$.
综上所述，点$P$的坐标为$(0,3+3\sqrt{2})$或$(0,3-3\sqrt{2})$或$(0,-3)$或$(0,0)$.
(3)如图2，设点$M$的运动时间为$t s$，由$AB=2$，得$BM=2-t$，则$DN=2t$，
$\therefore S_{\triangle MNB}=\frac{1}{2}×(2-t)×2t=-t^{2}+2t=-(t-1)^{2}+1$，
即当$M(2,0)$，$N(2,2)$或$M(2,0)$，$N(2,-2)$时，$\triangle MNB$的面积最大，最大面积是1.

1. 如图,直线 $y = 3x + 3$ 交 $x$ 轴于点 $A$,交 $y$ 轴于点 $C$,且点 $B(3,0)$.
(1) 求经过 $A$,$B$,$C$ 三点的抛物线解析式；
(2) 在此抛物线对称轴上是否存在点 $P$,使得以 $P$,$A$,$C$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点 $P$ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$y=-x^{2}+2x+3$.
(2)存在.点$P(1,\sqrt{6})$或$(1,-\sqrt{6})$或$(1,0)$或$(1,1)$.