《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例3
如图,△ABC是等腰三角形,AB= AC,以AC为直径的⊙O与AB相交于点E,点F是BE的中点.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC= 10,BC= 12,求DF的长.
分析：(1)连接OD,AD,根据圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、切线的判定定理证明. (2)根据三角形的面积公式计算即可.

答案： 例3.
(1)证明略.
(2)DF=4.8.

3. 如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连接BC,AC,点E是BC的中点,连接并延长OE交圆于点D.
(1)求证：OD//AC；
(2)若DE= 2,BE= 2√{3},求阴影部分的面积.

答案：
3.
(1)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°.
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE,
∴OD⊥BC,
∴∠BEO=90°,
∴∠C=∠BEO,
∴OD//AC.
(2)连接OC,
设OB=OD=r,
∵DE=2,
∴OE=r-2.
∵BE²+OE²=BO²,

∴(2√3)²+(r-2)²=r²,
解得r=4,
∴OB=OD=4,
∴OE=2,
∴OE=1/2 OB,
∴∠B=30°,
∴∠AOC=60°,
∴阴影部分的面积$=S_{扇形AOC}-S_{△AOC}=60π×4²/360 -1/2×4×2√3=8/3 π-4√3.$