《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
(1) $x^{2}-4\sqrt{2}x + 9 = 0$；
(2) $3x^{2}+10 = 2x^{2}+8x$.
分析：判定一元二次方程根的情况,只需判定$\Delta与0$的关系. 当$\Delta ＞ 0$时,方程有两个不相等的实根；当$\Delta = 0$时,方程有两个相等的实根；当$\Delta ＜ 0$时,方程无实根.

答案：
(1)方程无实数根.
(2)方程有两个不等的实数根.

1. 关于$x的一元二次方程x^{2}+mx - m - 2 = 0$的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.实数根的个数由$m$的值确定

答案： A

例2 若关于$x的方程mx^{2}-2x + 3 = 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是( )

A.$m ＜ -\frac{1}{3}$
B.$m \leq \frac{1}{3}$
C.$m ＜ \frac{1}{3}且m \neq 0$
D.$m ＞ \frac{1}{3}$

答案： C

2. 若关于$x的一元二次方程4x^{2}-4x + c = 0$有两个相等的实数根,则$c$的值是( )

A.$-1$
B.$1$
C.$-4$
D.$4$

答案： B

例3 用公式法解下列一元二次方程.
(1) $2x - 1 = -2x^{2}$；
(2) $3x^{2}+1 = 2\sqrt{3}x$；
(3) $2(x - 1)^{2}-(x + 1)(1 - x) = (x + 2)^{2}$.
分析：应先把方程化为一般形式并计算$\Delta$,当$\Delta \geq 0$时再用求根公式解.

答案：
(1)$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$.
(2)$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(3)$x_{1}=\frac{4+\sqrt{22}}{2},x_{2}=\frac{4-\sqrt{22}}{2}$.