《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例1 已知抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{5}{2} $。
(1) 求抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2) 求抛物线与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点坐标；
(3) 当 $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 增大而增大？

答案： 例1.
(1)开口向上,对称轴$x=3$,顶点$(3,-7)$.
(2)与$x$轴交点为$(3+\sqrt{14},0)$,$(3-\sqrt{14},0)$,与$y$轴交点为$\left(0,-\dfrac{5}{2}\right)$.
(3)$x＞3$.

1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = ax^2 + 4x - 3 $ 图象的顶点是 $ A $,与 $ x $ 轴交于 $ B $,$ C $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ D $。点 $ B $ 的坐标是 $ (1,0) $。
(1) 求 $ A $,$ C $ 两点的坐标,并根据图象直接写出当 $ y ＞ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围；
(2) 平移该二次函数的图象,使点 $ D $ 恰好落在点 $ A $ 的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的解析式。

答案： 1.
(1)把$B(1,0)$代入$y=ax^{2}+4x-3$,得$0=a+4-3$,解得$a=-1$,$\therefore y=-x^{2}+4x-3=-(x-2)^{2}+1$,$\therefore A(2,1)$.$\because$对称轴为直线$x=2$,$B$、$C$关于$x=2$对称,$\therefore C(3,0)$,$\therefore$当$y＞0$时,$1＜ x＜3$.
(2)$\because D(0,-3)$,$\therefore$点$D$平移到点$A$,抛物线向右平移$2$个单位长度,向上平移$4$个单位长度,可得平移后的抛物线的解析式为$y=-(x-4)^{2}+5$.