《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

2. 为了实施乡村振兴战略,帮助农民增加收入,市政府大力扶持农户发展种植业,每亩土地每年发放种植补贴 $120$ 元. 张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物. 考虑各种因素,预计明年每亩土地种植该作物的成本 $y$(元)与种植面积 $x$(亩)之间满足一次函数关系,且当 $x = 160$ 时,$y = 840$；当 $x = 190$ 时,$y = 960$.($1$ 亩 $\approx 666.67$ $m^2$)
(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；
(2) 受区域位置的限制,老张承租土地的面积不得超过 $240$ 亩. 若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到 $2160$ 元,当种植面积为多少时,老张明年种植该作物的总利润最大？最大总利润是多少？

答案：
(1)设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，$\begin{cases} 840=160k+b \\ 960=190k+b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=4 \\ b=200 \end{cases}$，$\therefore y$与$x$之间的函数关系式为$y=4x+200$.
(2)设老张明年种植该作物的总利润为$W$元，
依题意得$W=[2160-(4x+200)+120]x=-4x^{2}+2080x=-4(x-260)^{2}+270400$，
$\because -4 ＜ 0$，$\therefore$当$x ＜ 260$时，$W$随$x$的增大而增大.
由题意知$x\leqslant240$，
$\therefore$当$x=240$时，$W$最大，最大值为$-4(240-260)^{2}+270400=268800$(元).
故种植面积为240亩时总利润最大，最大总利润是268800元

例1 如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是 $12$ $m$,宽是 $4$ $m$,按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用 $y = -\frac{1}{6}x^2 + bx + c$ 表示,且抛物线上的点 $C$ 到墙面 $OB$ 的水平距离为 $3$ $m$,到地面 $OA$ 的距离为 $\frac{17}{2}$ $m$.
(1) 求该抛物线的解析式,并计算拱顶 $D$ 到地面 $OA$ 的距离；
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 $6$ $m$,宽为 $4$ $m$,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过？
(3) 在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等. 如果灯离地面的高度不超过 $8$ $m$,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

答案：
(1)$y=-\frac{1}{6}x^{2}+2x+4$，$10m$.
(2)能安全通过.理由略.
(3)$4\sqrt{3}m$.