《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

3. 将抛物线 $ y = ax^2 $ 向右平移 1 个单位长度后,经过点 $ (-3, -3) $,求 $ a $ 的值.

答案： a=-3/16.

例1 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象,并回答后面的问题.
$ y = \frac{1}{2}x^2 $,$ y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 $,$ y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2 $.
(1) 分别写出这些抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 说明这三条抛物线之间的关系.

答案：
(1)
对于 $y = \frac{1}{2}x^2$：
开口方向：向上。
对称轴：$x = 0$（或 $y$ 轴）。
顶点坐标：$(0, 0)$。
对于 $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2$：
开口方向：向上。
对称轴：$x = 3$。
顶点坐标：$(3, 0)$。
对于 $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$：
开口方向：向上。
对称轴：$x = 3$。
顶点坐标：$(3, -2)$。
(2)
抛物线 $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2$ 是 $y = \frac{1}{2}x^2$ 向右平移 3 个单位得到的。
抛物线 $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$ 是 $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2$ 向下平移 2 个单位得到的。
因此，抛物线 $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$ 是 $y = \frac{1}{2}x^2$ 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位得到的。