《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

2. 已知关于$x的方程x^2 - 2(a - 2)x + a^2 - 5 = 0$有实数根,且两根之积等于两根之和的$2$倍,求$a$的值。

答案： $a=1$.

例3
张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为$1m$的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为$15m^3$的无盖长方体运输箱,且此长方体运输箱底面的长比宽多$2m$。现已知购买这种铁皮每平方米需$20$元钱,问张大叔购回这张矩形铁皮花了多少元钱？
分析：由题意可知长方体运输箱的高为$1m$,底面长方形的长比宽多$2m$。设底面长方形的宽为$x m$,根据围成的长方体的容积为$15m^3$可列方程求解。

答案： 700元.

3. 某工厂生产一批小家电,$2018年的出厂价是144$元,$2019$年、$2020$年连续两年改进技术,降低成本,$2020年出厂价调整为100$元。
(1) 若$2019$、$2020$这两年出厂价的平均下降率相同,求平均下降率。
(2) 某商场$2020年销售这批小家电的售价为140$元时,平均每天可销售$20$台。为了减少库存,商场决定降价销售,经调查发现小家电单价每降低$5$元,每天可多售出$10$台。如果要求每天盈利$1250$元,单价应降低多少元？

答案： 3.
(1)设这两年的平均下降率为x,根据题意得$144(1-x)^{2}=100$,$1-x=\pm \sqrt{\frac{100}{144}}=\pm \frac{5}{6}$,$x_{1}=\frac{11}{6}＞1$(不合题意,舍去),$x_{2}=\frac{1}{6}\approx 16.67\%$.故这两年的平均下降率约为16.67%.
(2)设单价降低y元,则每天的销售量是$20+\frac{y}{5}× 10=(20+2y)$台,$(140-100-y)(20+2y)=1250$,$y_{1}=y_{2}=15$.故单价应降低15元.