《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例2 如图,已知点 $A(-3,0)$,$D(-1,-4)$,在 $y$ 轴上找一点 $P$,使 $\triangle ADP$ 是直角三角形.

答案： 点$P(0,\frac{3}{2})$或$(0,-1)$或$(0,-3)$或$(0,-\frac{7}{2})$.

2. 如图,已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 经过 $A$,$B$ 两点,$BC \perp x$ 轴于点 $C$,且点 $A(-1,0)$,$C(4,0)$,$AC = BC$.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样的点 $P$,使 $\triangle ABP$ 成为直角三角形？若存在,求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$\because$点$A(-1,0)$，$C(4,0)$，$\therefore AC=5$，$OC=4$.$\because AC=BC=5$，$\therefore B(4,5)$.
把$A(-1,0)$和$B(4,5)$代入二次函数$y=x^{2}+bx+c$中得
$\begin{cases} 1-b+c=0 \\ 16+4b+c=5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=-3 \end{cases}$，
$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^{2}-2x-3$.
(2)存在
$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$，$\therefore$设$P(1,m)$.
分三种情况
①以点$B$为直角顶点时，由勾股定理得$PB^{2}+AB^{2}=PA^{2}$，
$\therefore (4-1)^{2}+(m-5)^{2}+(4+1)^{2}+5^{2}=(1+1)^{2}+m^{2}$，解得$m=8$，$\therefore P(1,8)$；
②以点$A$为直角顶点时，由勾股定理得$PA^{2}+AB^{2}=PB^{2}$，
$\therefore (1+1)^{2}+m^{2}+(4+1)^{2}+5^{2}=(4-1)^{2}+(m-5)^{2}$，
解得$m=-2$，$\therefore P(1,-2)$；
③以点$P$为直角顶点时，由勾股定理得$PB^{2}+PA^{2}=BA^{2}$，
$\therefore (1+1)^{2}+m^{2}+(4-1)^{2}+(m-5)^{2}=(4+1)^{2}+5^{2}$，
解得$m=6$或$-1$，$\therefore P(1,6)$或$(1,-1)$.
综上所述，点$P$的坐标为$(1,8)$或$(1,-2)$或$(1,6)$或$(1,-1)$.