《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例 1 如图,四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $,若四边形 $ AOCD $ 是菱形,$ \angle B $ 的度数是______.

答案： $60^{\circ}$

1. 在圆内接四边形 $ ABCD $ 中,若 $ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 的度数之比为 $ 4:3:5 $,则 $ \angle D $ 的度数是______.

答案： $120^{\circ}$

2. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 90^{\circ} $,点 $ M $ 是 $ AC $ 的中点,以 $ AB $ 为直径作 $ \odot O $ 分别交 $ AC $,$ BM $ 于点 $ D $,$ E $. 求证：$ MD = ME $.
分析：利用直角三角形斜边上的中线性质得 $ MA = MB $,则 $ \angle A = \angle MBA $；再利用圆内接四边形的性质证明 $ \angle MDE = \angle MED $ 可得.

答案： 证明：
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，M是AC中点，
∴MA=MB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠A=∠MBA（等腰三角形两底角相等）。
∵AB为⊙O直径，D，E在⊙O上，
∴A，B，E，D四点共圆，
∴∠BED=∠A（同弧所对圆周角相等），
∠MDE=∠MBA（圆内接四边形外角等于内对角）。
∵∠A=∠MBA，
∴∠BED=∠MDE。
∵E在BM上，
∴∠BED=∠MED，
∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME（等角对等边）。

例 2 如图,在 $ \odot O $ 的内接四边形 $ ABCD $ 中,$ AB = AD $,$ \angle C = 110^{\circ} $. 若点 $ P $ 在 $ \overset{\frown}{AB} $ 上,求 $ \angle P $ 的度数.
分析：连接 $ BD $,根据圆内接四边形的性质求出 $ \angle BAD $,再根据等腰三角形的性质计算.

答案： $125^{\circ}$.

3. 如图,已知四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $,$ E $ 是 $ AD $ 延长线上一点,且 $ AC = BC $,求证：$ DC $ 平分 $ \angle BDE $.
分析：根据圆内接四边形的性质可得 $ \angle 3 = \angle ABC $,再根据圆周角定理、等腰三角形的性质证 $ \angle 3 = \angle 2 $.

答案：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$\angle 3=\angle ABC$.
∵$\overset{\frown}{BC}=$$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\angle 1=\angle 2$.
∵$CA=CB$，
∴$\angle 1=\angle ABC$.
∴$\angle 3=$$\angle 2$，
∴DC平分$\angle BDE$.