《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例 1 一元二次方程 $ -3(x - 2)(x + 5) = 0 $ 的解是 ______；抛物线 $ y = -3(x - 2)(x + 5) $ 与 $ x $ 轴的交点是 ______。

答案： $x_{1}=2,x_{2}=-5$ $(2,0),(-5,0)$

1. 一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根就是二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 ______ 轴交点的 ______ 坐标。

答案： $x$,横

2. 在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,请你根据图象写出方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两根是 ______。

答案： $x_{1}=-3,x_{2}=1$

例 2 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + x - m = 0 $。
(1) 若方程有两个不相等的实数根,求 $ m $ 的取值范围；
(2) 在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = x^{2} + x - m $ 的部分图象如图所示,求一元二次方程 $ x^{2} + x - m = 0 $ 的解。

答案：
(1)$\because$一元二次方程$x^{2}+x-m=0$有两个不相等的实数根,$\therefore 1+4m＞0,\therefore m＞-\frac{1}{4}$.
(2)二次函数$y=x^{2}+x-m$图象的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$,$\therefore$抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x=-\frac{1}{2}$对称.由图可知抛物线与$x$轴一个交点为$(1,0)$,$\therefore$另一个交点为$(-2,0)$,$\therefore$一元二次方程$x^{2}+x-m=0$的解为$x_{1}=1,x_{2}=-2$.