《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例1 如图,$\triangle ABC和\triangle ABD$都为直角三角形,且$∠C= ∠D= 90^{\circ}$。求证：$A$,$B$,$C$,$D$四点在同一个圆上。
分析：取$AB的中点O$,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,证得$OA= OB= OC= OD$后,即可求证。

答案： 取 $AB$ 的中点 $O$，连接 $OC$、$OD$。
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$O$ 是 $AB$ 的中点，则
$OA = OB = OC=\frac{1}{2}AB$。
在 $Rt\triangle ABD$ 中，$O$ 是 $AB$ 的中点，则
$OA = OB = OD=\frac{1}{2}AB$。
所以$OA = OB = OC = OD$。
所以$A$、$B$、$C$、$D$ 四点在以 $O$ 为圆心，$AB$ 为直径的圆上。

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD$,$CE$是两条高,点$O为BC$的中点,连接$OD$,$OE$。求证：$B$,$C$,$D$,$E四个点在以点O$为圆心的同一个圆上。

答案： 证明：
∵ BD，CE是△ABC的高，
∴ ∠BDC=∠BEC=90°。
∵ O为BC的中点，
∴ 在Rt△BDC中，OD=1/2BC；在Rt△BEC中，OE=1/2BC。
又
∵ OB=OC=1/2BC，
∴ OB=OC=OD=OE。
∴ B，C，D，E四个点在以点O为圆心，OB为半径的同一个圆上。