《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例 2 如图,⊙O 的直径 CD 长为 10,弦 AB 的长为 8,且 AB⊥CD 于点 M,则 CM 的长为( )

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

2. 如图,一个隧道的横截面是以 O 为圆心的圆的一部分,路面 AB = 8 m,净高 CD = 6 m,则此圆的半径 OA 的长为( )

A.3 m
B.4 m
C.$\frac{13}{3}$ m
D.5 m

答案： C

例 3 如图,AB,CD 是⊙O 的弦,M,N 分别为 AB,CD 的中点,且∠AMN = ∠CNM. 求证：AB = CD.

答案： 证明：
1. 连接OM，ON。

∵M，N分别为AB，CD的中点，

∴由垂径定理推论得：OM⊥AB，ON⊥CD，

∴∠OMA=∠ONC=90°。
2. 设∠AMN=∠CNM=α。

∵OM⊥AB，
∴∠OMN=∠OMA - ∠AMN=90° - α。

∵ON⊥CD，
∴∠ONM=∠ONC - ∠CNM=90° - α。
3.
∴∠OMN=∠ONM，

∴△OMN为等腰三角形，
∴OM=ON。
4.
∵OM，ON分别为弦AB，CD的弦心距，且OM=ON，

∴由同圆中弦心距相等则弦相等得：AB=CD。
结论：AB=CD。

3. 如图,某地有一座圆弧形(以点 O 为圆心)的拱桥,桥下的水面宽度(AB)为 7.2 m,拱顶高出水面(CD)2.4 m. 现有一艘宽(EF)为 3 m 且船舱顶部为长方形并高出水面 1.5 m 的货船要经过这里,则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由.

答案： 3. 货船能顺利通过这座拱桥. 理由：
∵ OC⊥AB,AB=7.2 m,
∴ AD=$\frac{1}{2}$AB=3.6(m).
设 OA=OC=ON=r m,则 OD=(r-2.4)m.
在Rt△AOD中,根据勾股定理得$r^2=(r-2.4)^2+$
$3.6^2$,解得r=3.9.
∵ CD=2.4 m,船舱顶部为长方形并高出水面1.5 m,
∴ CH=2.4-1.5=0.9(m),
∴ OH=3.9-0.9=3(m).
在Rt△OHN中,$HN^2=ON^2-OH^2=3.9^2-3^2=6.21$,
∴ HN=$\sqrt{6.21}$(m),
∴ MN=2HN=2$\sqrt{6.21}$(m)＞3 m,
∴ 货船能顺利通过这座拱桥.