《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例2 如图,抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $ 两点,过点 $ A $ 的直线 $ l $ 交抛物线于点 $ C(2,m) $。点 $ F $ 是抛物线上的动点,在 $ x $ 轴上是否存在点 $ D $,使得以点 $ A $,$ C $,$ D $,$ F $ 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,请写出所有满足条件的点 $ D $ 的坐标；如果不存在,请说明理由。

答案：
例2.抛物线的解析式为$y=x^{2}-2x-3$.直线$AC$的解析式是$y=-x-1$.存在这样的点$D$.理由:如图,设抛物线与$y$的交点为$K$,由题意得$K(0,-3)$. $\because C(2,-3)$,$\therefore CK// x$轴,$CK=2$.当$AC$是平行四边形$ACF_{1}D_{1}$的边时,可得$D_{1}(-3,0)$.当$AC$是平行四边形$AF_{1}CD_{2}$的对角线时,$AD_{2}=CK$,可得$D_{2}(1,0)$.当点$F$在$x$轴的上方时,令$y=3$,$3=x^{2}-2x-3$,解得$x=1\pm \sqrt{7}$,$\therefore F_{3}(1-\sqrt{7},3)$,$F_{4}(1+\sqrt{7},3)$,由平移的性质可知$D_{3}(4-\sqrt{7},0)$,$D_{4}(4+\sqrt{7},0)$.综上所述,满足条件的点$D$的坐标为$(-3,0)$或$(1,0)$或$(4-\sqrt{7},0)$或$(4+\sqrt{7},0)$.

2. 如图,抛物线 $ y = ax^2 + bx + 2 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,$ AB = 4 $,矩形 $ OBDC $ 的边 $ CD = 1 $,延长 $ DC $ 交抛物线于点 $ E $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图,点 $ P $ 是直线 $ EO $ 上方抛物线上的一动点,过点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线交直线 $ EO $ 于点 $ G $,作 $ PH \perp EO $ 于 $ H $,设 $ PH $ 的长为 $ l $,点 $ P $ 横坐标为 $ m $,求 $ l $ 与 $ m $ 的函数关系式(不必写出 $ m $ 的取值范围),并求 $ l $ 的最大值；
(3) 如果点 $ N $ 是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点 $ M $,使得以 $ M $,$ A $,$ C $,$ N $ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,直接写出所有满足条件的点 $ M $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 2.
(1)$y=-\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{4}{3}x+2$.
(2)$l=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}m^{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{6}m+\sqrt{2}$,最大值是$\dfrac{49\sqrt{2}}{48}$.
(3)存在.点$M\left(-4,-\dfrac{10}{3}\right)$或$\left(2,-\dfrac{10}{3}\right)$或$(-2,2)$.