《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

2. 如图,$\angle O = 30^{\circ}$,$C$ 为 $OB$ 上一点,且 $OC = 6$,以点 $C$ 为圆心,半径为 $3$ 的圆与 $OA$ 的位置关系是( )

A.相离
B.相交
C.相切
D.以上三种情况均有可能

答案： C

3. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 4$,$AB = 5$,以点 $C$ 为圆心、$R$ 为半径画圆,若 $\odot C$ 与边 $AB$ 只有一个交点,则 $R$ 的取值范围是( )

A.$R = \frac{15}{2}$
B.$3 \leq R \leq 4$
C.$0 ＜ R ＜ 3$ 或 $R ＞ 4$
D.$3 ＜ R \leq 4$ 或 $R = \frac{12}{5}$

答案： D

例 1 如图,$AC$ 是 $\odot O$ 的直径,$BC$ 是 $\odot O$ 的弦,点 $P$ 是 $\odot O$ 外一点,连接 $PA$,$PB$,$AB$,已知 $\angle PBA = \angle C$. 求证：$PB$ 是 $\odot O$ 的切线.

答案： 要证明 $PB$ 是 $\odot O$ 的切线，需证明 $OB \perp PB$。
$\because AC$ 是 $\odot O$ 的直径，
$\therefore \angle ABC = 90°$。
$\therefore \angle C + \angle BAC = 90°$。
$\because \angle PBA = \angle C$，
$\therefore \angle PBA + \angle BAC = 90°$。
$\because OA = OB$，
$\therefore \angle BAC = \angle ABO$。
$\therefore \angle PBA + \angle ABO = 90°$。
即 $OB \perp PB$。
又$\because OB$ 是 $\odot O$ 的半径，
$\therefore PB$ 是 $\odot O$ 的切线。