《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

例2 如图①,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°. 在△FDE中,∠DFE= 60°,将△FDE的顶点F与△ABC的顶点A重合,边FD从AB边开始绕点A逆时针旋转,旋转过程中边FD与直线BC的交点为N,边FE与直线BC的交点为M.
(1) 如图①,点P在线段BC上,连接AP,△FDE在旋转过程中,当FD平分∠BAP时,求证：FE平分∠CAP；
(2) △FDE在旋转过程中,如图②,当∠BAN= 45°时,探究线段BN,MN,MC之间的数量关系,并证明你的结论.

答案：

(1)
∵FD平分∠BAP,
∴∠PFN=∠BFN.
∵∠BAC=120°,∠DFE=60°,
∴∠CFE+∠BFN=60°,∠PFN+∠PFM=60°,
∴∠CFM=∠PFM,
∴FE平分∠CAP.
(2)$BN^{2}=CM^{2}+MN^{2}$.理由:
如图，将△ACM绕点A顺时针旋转120°,得到△ABH,连接NH,
∴△ACM≌△ABH,
∴AH=AM,CM=BH,∠ACB=∠ABH,∠MAH=120°,

∴∠HAN=∠MAH−∠MAN=60°,
∴∠MAN=∠NAH=60°.
在△ANM和△ANH中,
$\left\{\begin{array}{l} AM=AH,\\ ∠MAN=∠HAN,\\ AN=AN,\end{array}\right. $
∴△ANM≌△ANH;
∴MN=NH,∠MNA=∠ANH.
∵∠CAB=120°,AC=AB,
∴∠ABC=∠ACB=30°=∠ABH,
∴∠NBH=60°.
∵∠ANM=∠BAN+∠ABC=75°,
∴∠ANM=∠ANH=75°,
∴∠BNH=30°,
∴∠BHN=90°,
∴$BN^{2}=BH^{2}+NH^{2}$,
∴$BN^{2}=CM^{2}+MN^{2}$.

2. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°),得到矩形AEFG.
(1) 如图,当点E在BD上时,求证：FD= CD；
(2) 当α为何值时GC= GB？画图并说明理由.

答案：
(1)证明略.
(2)α=60°或300°.画图略,理由略.