《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学上册人教版》

1. 如图,抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$,$B$ 两点,与 $y$ 轴交于 $C$ 点,$OA = 2$,$OC = 6$,连接 $AC$ 和 $BC$.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点 $D$ 是该抛物线对称轴上的动点,当 $\triangle ACD$ 的周长最小时,求点 $D$ 的坐标及 $\triangle ACD$ 的周长的最小值.

答案：
(1)$y=x^{2}-x-6$.
(2)当点$D$为$(\frac{1}{2},-5)$时，周长最小值为$2\sqrt{10}+3\sqrt{5}$.

例2 如图,抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$,$B(3,0)$ 两点,过点 $A$ 的直线 $l$ 交抛物线于点 $C(2,m)$.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点 $P$ 是线段 $AC$ 上一个动点,过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $E$,求线段 $PE$ 的长度最大时点 $P$ 的坐标.

答案：
(1)将$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=x^{2}+bx+c$，
得$\begin{cases} 1-b+c=0 \\ 9+3b+c=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=-3 \end{cases}$，$\therefore y=x^{2}-2x-3$.
(2)将$C$点的横坐标$x=2$代入$y=x^{2}-2x-3$，得$y=-3$，$\therefore C(2,-3)$，
$\therefore$直线$AC$的解析式是$y=-x-1$.
设$P$点的横坐标为$m(-1\leqslant m\leqslant2)$，则$P(m,-m-1)$，$E(m,m^{2}-2m-3)$.
$\because P$点在$E$点的上方，$PE=(-m-1)-(m^{2}-2m-3)=-m^{2}+m+2=-(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}$，
$\because -1 ＜ 0$，
$\therefore$当$m=\frac{1}{2}$时，$PE$的最大值为$\frac{9}{4}$，此时$P(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$.

2. 定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”. 抛物线 $y = x^2 - 2x + 3$ 与直线 $y = x - 2$ 的“和谐值”为( )

A.$3$
B.$\frac{11}{4}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$2$

答案： B