《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

1. 某数学活动小组在一次活动中对一个数学问题做了如下研究：
【问题发现】如图①,在等边△ABC中,M是BC边上的任意一点,连接AM,以AM为边作等边△AMN,连接CN,则∠ABC和∠ACN的数量关系为∠ABC=∠ACN；
【变式探究】如图②,在等腰△ABC中,AB= BC,M是BC边上的任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM为边作等腰△AMN,使∠AMN= ∠ABC,AM= MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由；
【解决问题】如图③,在边长为8的正方形ADBC中,M为BC边上的一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中心,连接CN,若CN= $\sqrt{2}$,求正方形AMEF的边长。

答案： 【问题发现】∠ABC=∠ACN
【变式探究】∠ABC=∠ACN,理由如下:
∵AB=BC,AM=MN,
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MN}$.又
∵∠ABC=∠AMN,
∴△ABC∽△AMN,
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$,∠BAC=∠MAN,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AN}$,∠BAM=∠CAN,
∴△ABM∽△ACN,
∴∠ABC=∠ACN
【解决问题】连接AB,AN,
∵四边形ADBC和四边形AMEF均为正方形,点N为正方形AMEF的中心,
∴∠BAC=∠MAN=45°,易得$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AN}=\sqrt{2}$,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△ABM∽△ACN,
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$,
∴BM=$\sqrt{2}$CN=2,
∴CM=BC - BM=8 - 2=6,
∴AM=$\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,
∴正方形AMEF的边长为10

2. (丹东十九中月考)已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点,将△CDE绕点C顺时针旋转α($0^{\circ}＜α＜360^{\circ}$),连接BD,AE,请完成如下问题：
(1) 如图①,若△ABC和△CDE均为等边三角形,线段BD与线段AE的数量关系是______；
类比探究：(2) 如图②,若∠ABC= ∠EDC= 90°,∠ACB= ∠ECD= 60°,其他条件不变,请写出线段BD与线段AE的数量关系,并说明理由；
(3) 拓展应用：如图③,D是△ABC内的一点,∠BAD= ∠CBD= 30°,∠BDC= 90°,AB= 4,AC= 2$\sqrt{3}$,请直接写出AD的长。

答案：

(1)BD=AE
(2)BD=$\frac{1}{2}$AE,理由如下:
∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠BAC=∠DEC=30°,∠ACB - ∠ACD=∠ECD - ∠ACD,
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}=\frac{1}{2}$,∠BCD=∠ACE,
∴△BCD∽△ACE,
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴BD=$\frac{1}{2}$AE
(3)过点A作AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于点E,连接BE,

∵∠BAD=30°,
∴∠DAE=60°,
∴∠AED=30°=∠DBC.又
∵∠BDC=∠ADE=90°,
∴△BDC∽△EDA,
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{CD}{AD}$,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{AD}$.又
∵∠BDC=∠ADE=90°,
∴∠BDC+∠CDE=∠ADE+∠CDE,即∠BDE=∠CDA,
∴△BDE∽△CDA,
∴$\frac{BE}{AC}=\frac{DE}{AD}$.又
∵∠ADE=90°,∠AED=30°,
∴AE=2AD,
∴DE=$\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{3}$AD,
∴$\frac{BE}{AC}=\sqrt{3}$,
∴BE=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}×2\sqrt{3}=6$,
∴AE=$\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$,
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$