《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

9. (2023·兰州)如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上的一点,F为CE的中点,以点B为圆心,以BF的长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB= 4,CE= 10,则AG= (C)

A.2
B.2.5
C.3
D.3.5

答案： C

10. (沈阳段考)如图,在矩形OABC中,顶点B的坐标是(1,3),则AC的长是(C)

A.3
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{10}$
D.4

答案： C

11. (沈阳皇姑区期末)如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE= BD,连接AE,若$\angle ADB = 30^{\circ}$,则$\angle E$的度数为 15°.

答案： 15°

12. (10分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,求证：AC= CE.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD//BC，
∴DE//BC.又
∵BD//CE，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BD=CE，
∴AC=CE

13. (12分)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,且AE= CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE= BF,$\angle BEF = 2\angle BAC$.
(1)求证：OE= OF；
(2)若BC= $2\sqrt{3}$,求AB的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO.又
∵∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF
(2)连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴∠BEF+∠OBA=90°.
∵△AOE≌△COF，
∴OA=OC.又
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OA，
∴∠OBA=∠OAB.又
∵∠BEF=2∠BAC，
∴2∠BAC+∠BAC=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AC=2BC=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{AC^2-BC^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}$=6

1. 如图,在$\triangle ABC$中,D是边BC上的一点,AB= AD,E,F分别是AC,BD的中点,若EF= 3,则AC= 6.

答案： 6

2. (沈阳三模)如图,BD,CE都是$\triangle ABC$的高,点F,G分别是BC,DE的中点,若DE= 6,BC= 10,则FG= 4.

答案： 4

3. (本溪十二中期中)如图,在Rt$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,AC= 8,BC= 6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE= 4,若点M,N分别是AB,DE的中点,则MN的最小值为 ______3.

答案： 3