《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

10. (沈阳铁西区月考)如图,在平面直角坐标系中,菱形$ABCD的顶点A$,$B$,$C$在坐标轴上,若点$B的坐标为(-1,0)$,$\angle BCD= 120^{\circ}$,则点$D$的坐标为 (D)

A.$(2,2)$
B.$(\sqrt{3},2)$
C.$(3,\sqrt{3})$
D.$(2,\sqrt{3})$

答案： D

11. 如图,在菱形$ABCD$中,$E$,$F分别是AD$,$CD$的中点,若$BD= 4$,$EF= 3$,则菱形$ABCD$的周长为$4\sqrt{13}$.

答案： $4\sqrt{13}$

12. 如图,在菱形$ABCD$中,$P是对角线AC$上的一动点,过点$P分别作PE\perp BC于点E$,$PF\perp AB于点F$,若菱形$ABCD的周长为20$,面积为$24$,则$PE+PF$的值为______.

$\frac{24}{5}$

答案： $\frac{24}{5}$

13. (12分)如图,四边形$ABCD$是菱形,$AE\perp BC于点E$,$AF\perp CD于点F$.
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle ADF$；
(2)若$AE= 4$,$CF= 2$,求菱形的边长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D.又
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE≌△ADF(AAS)
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD.设AB=CD=x，则DF=CD−CF=x−2.又由
(1)知△ABE≌△ADF，
∴BE=DF=x−2.又
∵在Rt△ABE中，根据勾股定理，得$AE^2+BE^2=AB^2$，即$4^2+(x−2)^2=x^2$，解得x=5，
∴菱形的边长是5

14. (14分)如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,过点$D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E$.
(1)求证：四边形$ACDE$是平行四边形；
(2)若$AC= 8$,$BD= 6$,求$\triangle ADE$的周长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴AE//CD.又
∵DE⊥BD，
∴DE//AC，
∴四边形ACDE是平行四边形
(2)
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，
∴$CD=AD=\sqrt{AO^2+DO^2}=5$.又
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18

15. (16分)新趋势 探究性问题(辽宁省实验中学月考)如图,在菱形$ABCD$中,$\angle B= 60^{\circ}$,动点$E$,$F分别从B$,$C$两点同时出发,以相同的速度分别向终点$C$,$D$移动,连接$AE$,$AF$,
(1)求证：$AE= AF$；
(2)若$AB= 2$,连接$EF$,求线段$EF$长度的最小值.

答案：
(1)证明:连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACF=60°=∠B.又根据题意可知BE=CF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴AE=AF
(2)由
(1)知△ABC是等边三角形，△ABE≌△ACF，AE=AF，
∴∠BAC=60°，∠BAE=∠CAF，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE.过点A作AG⊥BC于点G，则$BG=CG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$，
∴$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$EF=AE\geq AG=\sqrt{3}$(当且仅当点E与点G重合时“=”成立)，
∴线段EF长度的最小值为$\sqrt{3}$