《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

8. 如图,$AC$,$BD是四边形ABCD$的对角线,点$E$,$F分别是AD$,$BC$的中点,点$M$,$N分别是AC$,$BD$的中点,连接$EM$,$MF$,$FN$,$NE$,要使四边形$EMFN$为正方形,则需添加的条件是(A)

A.$AB = CD$,$AB \perp CD$
B.$AB = CD$,$AD = BC$
C.$AB = CD$,$AC \perp BD$
D.$AB = CD$,$AD // BC$

答案： A

9. 如图,四边形$ABCD$为矩形,四边形$AEDF$为菱形,则当$AB$,$BC$之间满足BC=2AB时菱形$AEDF$为正方形.

答案： BC=2AB

10. (14分)如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$E是DB$延长线上的一点,且$EA = EC$.
(1)求证：四边形$ABCD$是菱形；
(2)若$\angle BCA = \angle ECB + \angle CEB$,求证：四边形$ABCD$是正方形.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=1/2AC.又
∵EA=EC，
∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形
(2)
∵∠BCA=∠ECB+∠CEB=∠DBC，
∴BO=CO.又
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2CO，BD=2BO，
∴AC=BD，
∴菱形ABCD是正方形

11. (16分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90°$,$AD$是中线,$E是AD$的中点,过点$A作AF // BC交BE的延长线于点F$,连接$CF$.
(1)求证：$AD = AF$；
(2)如果$AB = AC$,试判断四边形$ADCF$的形状,并证明你的结论.

答案：
(1)证明:
∵AF//BC，
∴∠EAF=∠EDB.又
∵E是AD的中点，
∴AE=DE.又
∵∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(ASA)，
∴AF=BD.又
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD=DC=1/2BC，
∴AD=AF
(2)四边形ADCF是正方形，证明如下:
∵AF=BD=DC，AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形.又
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°.又
∵AD=AF，
∴▱ADCF是正方形

12. (18分)新趋势 探究性问题(铁岭一调)如图,点$E$为边长为2的正方形$ABCD的对角线AC$上的一动点,连接$DE$,过点$E作EF \perp DE$,交$BC于点F$,以$DE$,$EF为邻边作矩形DEFG$,连接$CG$.
(1)求证：矩形$DEFG$是正方形；
(2)探究：$CE + CG$的值是否为定值？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由.

答案：
(1)证明:过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，则∠EMC=∠ENC=∠END=90°.又
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠MEN=90°，EM=EN.又
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°=∠MEN，
∴∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴EF=DE，
∴矩形DEFG是正方形
(2)CE+CG的值为定值2√2，理由如下:
∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，
∴AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC=√(AB²+BC²)=√(2²+2²)=2√2，
∴CE+CG的值是定值2√2