《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

13. 如图, 点 $ E $ 在矩形 $ ABCD $ 的 $ AB $ 边上, 将 $ \triangle ADE $ 沿 $ DE $ 翻折, 点 $ A $ 恰好落在 $ BC $ 边上的点 $ F $ 处, 若 $ CD = 3BF $, $ BE = 4 $, 则 $ AD = $ 15。

答案： 15

14. 如图, 在矩形 $ ABCD $ 中, $ AB = 3 $, $ BC = 5 $, 点 $ E $ 在对角线 $ AC $ 上, 连接 $ BE $, 作 $ EF \perp BE $, 垂足为 $ E $, $ EF $ 交 $ CD $ 于点 $ F $, 则 $ \frac{BE}{EF} = $ $\frac{3}{5}$。

答案： $\frac{3}{5}$

15. 如图, 在等腰 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle A = 90° $, 将 $ \triangle ADE $ 沿 $ DE $ 翻折, 点 $ A $ 恰好落在 $ BC $ 的三等分点 $ P $(靠近点 $ C $)处, 若 $ PD = 6 $, 求 $ PE $ 的长。

答案：
解:
∵AB=AC,∠A=90°,
∴∠B=∠C=45°.过点P分别作PF⊥AB于点F,PG⊥AC于点G,则∠BFP=∠AGP=90°,PG//AB,∠CPG=45°=∠C,
∴四边形AFPG为矩形,$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CP}{BP}$=$\frac{1}{2}$,PG=CG,
∴PF=AG,AF=PG=CG=$\frac{1}{2}$AG.
∵∠A=∠DPE=90°,
∴∠ADP+∠AEP=180°.又
∵∠AEP+∠CEP=180°,
∴∠CEP=∠ADP,
∴△DPF∽△EPG,
∴$\frac{PD}{PE}$=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{AG}{CG}$=2,
∴PE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$×6=3

16. 如图, 在矩形纸片 $ ABCD $ 中, $ AB = 8 $, $ BC = 6 $, $ E $ 是边 $ CD $ 上的一点, 将 $ \triangle ADE $ 沿 $ AE $ 折叠得到 $ \triangle AFE $, 连接 $ DF $ 并延长交 $ BC $ 于点 $ G $, 若 $ DE = 3 $, 则 $ CG = $ 4。

答案： 4

【变式】(抚顺新抚区三模) 如图, 在矩形纸片 $ ABCD $ 中, $ AB = 12 $, $ BC = 10 $, 点 $ E, F $ 分别在边 $ AB, CD $ 上, 将四边形 $ ADFE $ 沿直线 $ EF $ 折叠得到四边形 $ A'D'FE $, 连接 $ DD' $ 并延长交边 $ BC $ 于点 $ G $, 当 $ G $ 为 $ BC $ 的中点时, 求 $ EF $ 的长。

答案：
[变式]解:设DG交EF于点O,过点E作EH⊥CD于点H,则∠EFH+∠FEH=90°,易得四边形BCHE为矩形,
∴EH=BC=10.又由折叠的性质可知EF⊥DG,
∴∠CDG+∠EFH=90°,
∴∠FEH=∠CDG.又
∵∠EHF=∠C=90°,
∴△EFH∽△DGC,
∴$\frac{EF}{DG}$=$\frac{EH}{CD}$=$\frac{10}{12}$=$\frac{5}{6}$.又
∵CD=AB=12,CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×10=5,
∴DG=$\sqrt{CD^2+CG^2}$=13,
∴EF=$\frac{5}{6}$DG=$\frac{65}{6}$