《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

11. 若将一元二次方程 $x^{2}-6x + 4 = 0$ 配方成 $(x + m)^{2}= n$ 的形式,则 $m$,$n$ 的值分别为 (C)
A.3,5
B.3,-5
C.-3,5
D.-3,-5

答案： C

12. 如图所示的是一个简单的数值运算程序,则输入的 $x$ 值为 (B)

A.3或-3
B.4或-2
C.1或3
D.2或-4

答案： B

13. 在实数范围内定义运算“$*$”为：$a*b = a^{2}-b^{2}$,则方程 $(2x - 1)*4 = 9$ 的解为x₁=3,x₂=-2。

答案： x₁=3,x₂=-2

14. 若一三角形的两边长分别为4和5,第三边的长是方程 $x^{2}-12x + 20 = 0$ 的根,则这个三角形的周长是11。

答案： 11

15. (9分)解下列方程：
(1) $x^{2}-\frac{2}{3}x - 1 = 0$；
(2) $(x - 5)(x + 2)= 8$；
(3) $x^{2}-6x + 9= (5 - 2x)^{2}$。

答案： 解:
(1)x₁=$\frac{1+\sqrt{10}}{3}$,x₂=$\frac{1-\sqrt{10}}{3}$
(2)x₁=6,x₂=-3
(3)x₁=2,x₂=$\frac{8}{3}$

16. (12分)(本课时T11变式)已知一元二次方程 $x^{2}-mx + 3 = 0$ 配方后为 $(x + n)^{2}= 1$。
(1) 求 $m$,$n$ 的值；
(2) 求方程 $x^{2}-mx - 2n = 0$ 的解。

答案： 解:
(1)整理(x+n)²=1,得x²+2nx+n²-1=0,
∴$\left\{\begin{array}{l} -m=2n,\\ n^{2}-1=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=-4,\\ n=2\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} m=4,\\ n=-2\end{array}\right. $
(2)①当$\left\{\begin{array}{l} m=-4,\\ n=2\end{array}\right. $时,方程为x²+4x-4=0,解得x₁=2$\sqrt{2}$-2,x₂=-2$\sqrt{2}$-2;②当$\left\{\begin{array}{l} m=4,\\ n=-2\end{array}\right. $时,方程为x²-4x+4=0,解得x₁=x₂=2

17. (15分)有 $n$ 个方程：$x^{2}+2x - 8 = 0$；$x^{2}+2×2x - 8×2^{2}= 0$；……；$x^{2}+2nx - 8n^{2}= 0$。
小静同学解第1个方程 $x^{2}+2x - 8 = 0$ 的步骤为：“① $x^{2}+2x = 8$；② $x^{2}+2x + 1 = 8 + 1$；③ $(x + 1)^{2}= 9$；④ $x + 1= \pm3$；⑤ $x = 1\pm3$；⑥ $x_{1}= 4,x_{2}= -2$。”
(1) 小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的；
(2) 用配方法解第 $n$ 个方程 $x^{2}+2nx - 8n^{2}= 0$。(用含 $n$ 的式子表示方程的根)
x²+2nx=8n²,x²+2nx+n²=9n²,(x+n)²=(3n)²,
∴x+n=±3n,
∴x₁=2n,x₂=-4n

答案：
(1)⑤
(2)x²+2nx=8n²,x²+2nx+n²=9n²,(x+n)²=(3n)²,
∴x+n=±3n,
∴x₁=2n,x₂=-4n