《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

8. (铁岭清河区一模)如图,在 $\angle MON$ 的两边上分别截取 $OA$,$OB$,使 $OA = OB$；分别以点 $A$,$B$ 为圆心,以 $OA$ 的长为半径作弧,两弧交于点 $C$；连接 $AC$,$BC$,$AB$,$OC$,若 $AB = 2\ cm$,四边形 $OACB$ 的面积为 $4\ cm^2$,则 $OC$ 的长为(C)

A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm

答案： C

9. (沈阳沈河区期末)如图,将两张等宽的纸条交叉叠放在一起,在重叠部分构成的四边形 $ABCD$ 中,若 $AB = 10$,$AC = 12$,则 $BD$ 的长为16.

答案： 16

10. (12 分)(教材 $P9$“随堂练习”$T2$ 变式)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点,$BE = 2DE$,过点 $C$ 作 $CF // BE$ 交 $DE$ 的延长线于点 $F$.
(1) 求证：四边形 $BCFE$ 是菱形；
(2) 若 $CE = 4$,$\angle BCF = 120°$,求四边形 $BCFE$ 的面积.

答案：
解:
(1)证明:
∵D,E分别是AB，AC的中点，
∴DE//BC,BC=2DE.
∵CF//BE，
∴四边形BCFE是平行四边形。
∵BE=2DE，
∴BE=BC，
∴□BCFE是菱形
(2)连接BF,交CE于点O.
∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120°,
∴∠CBE=180°−∠BCF=60°,BE=BC,
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=CE=2OC=4,
∴OC=2,
∴BF=2BO=2$\sqrt{BC^{2}-OC^{2}}=2\sqrt{4^{2}-2^{2}}=4\sqrt{3}$,
∴S菱形BCFE=$\frac{1}{2}$CE·BF=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$

11. (16 分)(教材 $P9$ 习题 $1.3T3$ 变式)如图,已知 $AE // BF$,$\angle ABF$ 的平分线交 $AE$ 于点 $D$.
(1) 尺规作图：作 $\angle BAE$ 的平分线交 $BF$ 于点 $C$,过点 $A$ 作 $AG \perp BF$ 于点 $G$(尺规作图,保留作图痕迹)；
(2) 在 (1) 的条件下,连接 $CD$,
① 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
② 若 $AC = 16$,$BD = 30$,求 $AG$ 的长.

答案：
解:
(1)如图所示:
(2)①证明:
∵AE//BF,
∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠ACB.又
∵AC平分∠BAD,BD平分∠ABC，
∴∠BAC=∠DAC=∠ACB,∠ABD=∠DBC=∠ADB,
∴AB=BC,AB=AD,
∴AD=BC.又
∵AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.又
∵AB=AD,
∴□ABCD是菱形
②设AC,BD相交于点O,
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=8,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=15,AC⊥BD,
∴AB=$\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=17$.又
∵AG⊥BC,
∴S菱形ABCD=BC·AG=$\frac{1}{2}$AC·BD,即17AG=$\frac{1}{2}$×16×30,解得AG=$\frac{240}{17}$

微清小贴士 经典 $60°$ 角的菱形-
模型示意图
【已知】如图,点 $E$,$F$ 分别是菱形 $ABCD$ 的边 $BC$,$CD$ 上的点,且 $\angle EAF = \angle B = 60°$.

【结论】$\triangle ABC$ 和 $ \triangle ACD $ 都是等边三角形 $\Rightarrow \triangle ABE \cong \triangle$ACF,$\triangle ACE \cong \triangle$ADF $\Rightarrow \triangle AEF$ 是等边三角形.

答案： 等边　ACF　ADF　等边

1. 如图,点 $E$,$F$ 分别是菱形 $ABCD$ 的边 $BC$,$CD$ 上的点,且 $\angle EAF = \angle D = 60°$,$\angle DAF = 45°$,则 $\angle CFE = $45°.

答案： 45°

2. (本溪实验中学第一次月考)如图,在边长为 5 的菱形 $ABCD$ 中,$\angle A = 60°$,点 $E$,$F$ 分别在边 $AD$,$CD$ 上,且 $\angle EBF = 60°$,连接 $EF$,若 $AE = 2$,则 $EF = $$\sqrt{19}$.

答案： $\sqrt{19}$