《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

1. 如图①,在矩形 $ABCD$ 中,点 $E$ 为 $BC$ 的中点,点 $P$ 沿 $BC$ 从点 $B$ 运动到点 $C$,设 $B$,$P$ 两点间的距离为 $x$,$PA - PE = y$,图②是点 $P$ 运动时 $y$ 随 $x$ 变化的关系图象,则 $BC$ 的长为(C)

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$

答案： C

2. 如图①,点 $F$ 从菱形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 出发,沿 $A→D→B$ 以 $1$ cm/s 的速度匀速运动到点 $B$,图②是点 $F$ 运动时 $△FBC$ 的面积 $y$(cm^2)随时间 $x$(s)变化的关系图象,求 $a$ 的值。

答案： 解:过点D作DE⊥BC于点E，由图象可知，当x=a s时，点P运动到点D，
∴AD=a cm，y=S△BCD=1/2BC·DE=a cm²。又
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AD=a cm，
∴DE=2 cm；当x=(a+√5) s时，点P运动到点B，
∴点F从点D运动到点B用了√5 s，
∴BD=√5 cm，
∴BE=√(BD² - DE²)=√((√5)² - 2²)=1(cm)，
∴CE=BC - BE=(a - 1)cm。在Rt△CDE中，
∵CD²=CE² + DE²，即a²=(a - 1)² + 2²，
∴a=2.5

3. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$AB = 4$,$E$ 为 $AD$ 的中点,$P$ 为对角线 $BD$ 上的一个动点,则 $AP + EP$ 的最小值是(D)

A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$

答案： D

4. 如图,矩形 $ABCD$ 的顶点 $A$,$B$ 分别在平面直角坐标系的 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴上滑动,连接 $OC$,若 $AB = 6$,$AD = 4$,则 $OC$ 的最大值是8。

答案： 8

【变式】(辽阳期中)如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是边 $AB$,$AD$ 上的动点,$P$ 是线段 $EF$ 的中点,$PG⊥BC$ 于点 $G$,$PH⊥CD$ 于点 $H$,连接 $GH$。若 $AB = 8$,$AD = 6$,$EF = 4$,则 $GH$ 的最小值是____。

答案： 8

5. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AB = AC = 10$,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,点 $M$ 在线段 $AC$ 上,且 $AM = 3$,点 $P$ 为线段 $BD$ 上的一个动点,则 $MP + \frac{1}{2}PB$ 的最小值是7√3/2。

答案： 7√3/2

6. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $10$,点 $G$ 是边 $CD$ 的中点,点 $E$ 是边 $AD$ 上的一动点,连接 $BE$,将 $△ABE$ 沿 $BE$ 翻折得到 $△FBE$,连接 $GF$,当 $GF$ 最小时,$AE$ 的长是5√5 - 5。

答案： 5√5 - 5