《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

9. 【易错】(2023·锦州)若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-2x+3 = 0$ 有两个实数根,则 $k$ 的取值范围是(D)
A.$k＜\frac{1}{3}$
B.$k\leqslant\frac{1}{3}$
C.$k＜\frac{1}{3}$且 $k\neq0$
D.$k\leqslant\frac{1}{3}$且 $k\neq0$

答案： D

10. 新定义 新运算问题 定义运算：$m☆n = mn^{2}-mn-1$,例如：$4☆2 = 4×2^{2}-4×2-1 = 7$,则方程 $1☆x = 0$ 的根的情况为(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根

答案： A

11. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x-m+1 = 0$ 没有实数根,则方程 $x^{2}-(m + 2)x+2m+1 = 0$ 的根的情况为有两个不相等的实数根.

答案： 有两个不相等的实数根

12. 【易错】若一等腰三角形的一边长为 $2$,它的另外两条边的长度是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x+k = 0$ 的两个实数根,则 $k$ 的值是9.

答案： 9

13. (10分)用公式法解下列方程：
(1) $\sqrt{2}m^{2}-4\sqrt{2} = 4m$；
(2) $(3x-2)(x+2) = 28$.

答案：
(1)$m_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},m_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$；
(2)$x_1=\frac{8}{3},x_2=-4$

14. (12分)(北京中考)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4mx+3m^{2} = 0$.
(1) 求证：该方程总有两个实数根；
(2) 若 $m＞0$,且该方程的两个实数根的差为 $2$,求 $m$ 的值.

答案：
(1)证明:
∵$\Delta=(-4m)^2-4\cdot 1\cdot 3m^2=4m^2\geq0$,
∴该方程总有两个实数根；
(2)
∵m＞0,
∴解方程$x^2-4mx+3m^2=0$,得$x_1=m,x_2=3m,x_2＞x_1$,又
∵该方程的两个实数根的差为2,
∴3m-m=2,
∴m=1

15. (16分)新定义 新概念问题 定义：如果关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 满足 $a + b + c = 0$,那么我们称这个方程为“凤凰方程”.
(1) 写出一个“凤凰方程”是$2x^2+x-3=0$(答案不唯一)；
(2) “凤凰方程”必定有一个根是$x=1$；
(3) 已知关于 $x$ 的“凤凰方程”$x^{2}+mx+n = 0$ 有两个相等的实数根,求 $mn$ 的值；
(4) 已知关于 $x$ 的“凤凰方程”$(m-3)x^{2}+nx+m = 0$ 的两个实数根都是整数,求整数 $m$ 的值.

答案：
(1)$2x^2+x-3=0$(答案不唯一)；
(2)x=1；
(3)
∵方程$x^2+mx+n=0$是“凤凰方程”,
∴1+m+n=0,
∴n=-m-1.又
∵方程$x^2+mx+n=0$有两个相等的实数根,
∴$\Delta=m^2-4n=m^2-4(-m-1)=0$,解得$m_1=m_2=-2$,
∴m=-2,
∴n=1,
∴mn=(-2)×1=-2；
(4)
∵关于x的方程$(m-3)x^2+nx+m=0$是“凤凰方程”,
∴m-3+n+m=2m-3+n=0,
∴n=3-2m,
∴$\Delta=n^2-4m(m-3)=(3-2m)^2-4m^2+12m=9$,
∴方程$(m-3)x^2+nx+m=0$的求根公式为$x=\frac{-n\pm \sqrt{9}}{2(m-3)}=\frac{-(3-2m)\pm 3}{2(m-3)}=\frac{m}{m-3}$或1,
∴方程$(m-3)x^2+nx+m=0$的根为$x_1=\frac{m}{m-3},x_2=1$.又
∵$\frac{m}{m-3}$为整数,m为整数,
∴m=0或2或4或6