《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

8. (沈阳苏家屯区月考)如图,在给定的$□ ABCD$上作一个菱形,甲、乙二人的做法如下：
甲：分别以点$A$,$B$为圆心,以$AB的长为半径画弧交AD于点E$,交$BC于点F$,连接$EF$,则四边形$ABFE$为菱形；
乙：以点$A$为圆心,以$AB的长为半径画弧交AD于点E$,连接$BE$,作$BE的垂直平分线交BC于点F$,则四边形$ABFE$为菱形.

根据两人的做法可判断(C)
A.甲正确,乙错误
B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误

答案： C

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 4$,$BC = 3$,$D为斜边AB$上的一点,以$CB$,$CD为边作□ CBED$,则当$AD = $7/5时$□ CBED$为菱形.

答案： 7/5

10. (14 分)如图,四边形$ABCD$是菱形,$E$,$F是对角线AC$上的两点,且$AE = CF$,依次连接$BE$,$ED$,$DF$,$FB$.求证：四边形$BEDF$是菱形.

答案： 证明:连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD.又
∵AE=CF，
∴AE - OA=CF - OC，即OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形.又
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形

11. (14 分)(沈阳沈北新区一模)如图,在四边形$ABCD$中,$AD // BC$,$BA = BC$,$BD平分\angle ABC$.
(1)求证：四边形$ABCD$是菱形；
(2)过点$D作DE \perp BD$,交$BC的延长线于点E$,若$BC = 5$,$BD = 8$,求四边形$ABED$的周长.

答案：
(1)证明:
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD.又
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB.又
∵BA=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.又
∵BA=BC，
∴四边形ABCD是菱形
(2)由
(1)易知AB=AD=BC=5，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°.又
∵CB=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE=BC，
∴BE=2BC=10，
∴DE=√(BE² - BD²)=√(10² - 8²)=6，
∴四边形ABED的周长为AD+AB+BE+DE=5+5+10+6=26

12. (16 分)新趋势 综合与实践 数学活动课上,何老师布置了一道题目：如图,你能用一张锐角三角形纸片$ABC折出一个以\angle A$为内角的菱形吗？石雨的折法如下：
第一步：折出$\angle A$的平分线,交$BC于点D$；
第二步：折出$AD$的垂直平分线,分别交$AB$,$AC于点E$,$F$,把纸片展平；
第三步：折出$DE$,$DF$,得到四边形$AEDF$.
请根据石雨的折法在图中画出对应的图形,并证明四边形$AEDF$是菱形.

答案： 解:对应的图形如图所示，证明:
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD.又
∵EF是线段AD的垂直平分线，
∴EA=ED，FA=FD，
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，
∴∠EAD=∠FDA，∠EDA=∠FAD，
∴AE//DF，AF//DE，
∴四边形AEDF是平行四边形.又
∵EA=ED，
∴▱AEDF是菱形