《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

10. 如图,将$\triangle ABC沿BC边上的中线AD平移到\triangle A'B'C'$的位置. 已知$\triangle ABC$的面积为 16,阴影部分三角形的面积为 9,若$AA' = 1$,则$A'D$的长为 (B)

A.2
B.3
C.4
D.$\frac{3}{2}$

答案： B

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E两点分别在AB$,$AC$上,点$F在DE$上,$G$,$H两点在BC$上,且$DE // BC$,$FG // AB$,$FH // AC$,若$BG:GH:HC = 4:6:5$,则$\triangle ADE与\triangle FGH$的面积比为9:4.

答案： 9:4

12. (10 分)如图,在$\triangle ABC$中,$BC ＞ AC$,点$D在BC$上,且$CD = AC$,$\angle ACB的平分线CF交AD于点F$,$E是AB$的中点,连接$EF$.
(1) 求证：$EF // BC$；
(2) 若四边形$BDFE$的面积为 12,求$\triangle ABD$的面积.

答案： 解:
(1)证明:
∵AC=CD,CF是∠ACB的平分线,
∴AF=DF.又
∵点E是AB的中点,
∴EF=$\frac{1}{2}BD$,EF//BC
(2)
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠ADB,
∴△AEF∽△ABD,
∴$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABD}}=(\frac{EF}{BD})^2=(\frac{\frac{1}{2}BD}{BD})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$,
∴$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABD}$,
∴$S_{四边形BDFE}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AEF}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABD}=12$,
∴$S_{\triangle ABD}=16$

13. (12 分)如图,在$□ ABCD$中,点$E是边AD$的延长线上的一点,$BE交CD于点F$.
(1) 求证：$\triangle ABE \backsim \triangle CFB$；
(2) 若$\triangle DEF$的面积为 4,$\frac{DF}{CF} = \frac{2}{3}$,求$□ ABCD$的面积.

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,∠A=∠C,
∴∠CBF=∠E,
∴△ABE∽△CFB
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,AD//BC,AD=BC,
∴易证△DEF∽△AEB,△DEF∽△CBF.又
∵$\frac{DF}{CF}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{DF}{CD}=\frac{2}{5}$,$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle CBF}}=(\frac{DF}{CF})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$,
∴$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle AEB}}=(\frac{DF}{AB})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$.又
∵$S_{\triangle DEF}=4$,
∴$S_{\triangle CBF}=9$,$S_{\triangle AEB}=25$,
∴$S_{□ ABCD}=S_{\triangle AEB}+S_{\triangle CBF}-S_{\triangle DEF}=25+9-4=30$

14. (6 分)思想方法 类比思想如图,小思作出了边长为 1 的第 1 个等边三角形$A_1B_1C_1$,然后分别取$\triangle A_1B_1C_1三边的中点A_2$,$B_2$,$C_2$,作出了第 2 个等边三角形$A_2B_2C_2$,用同样的方法作出了第 3 个等边三角形$A_3B_3C_3$.
(1) $\triangle A_1B_1C_1与\triangle A_2B_2C_2$的面积比为4:1；
(2) 依此方法作下去,可得作出的第$n个等边三角形A_nB_nC_n$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2^n}$.

答案：
(1)4:1
(2)$\frac{\sqrt{3}}{2^n}$