《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

4. 解下列方程：
(1) $ x^{2}-7 x - 1= 0 $；
(2) $ 3 x^{2}-5 x + 2= 0 $；
(3) $ 2 x^{2}-7 x + 3= 0 $；
(4) $ \sqrt{3} x^{2}-x - 2 \sqrt{3}= 0 $。

答案： 解:
(1)$x_{1}=\frac {7+\sqrt {53}}{2},x_{2}=\frac {7-\sqrt {53}}{2}$
(2)$x_{1}=\frac {2}{3},x_{2}=1$
(3)$x_{1}=3,x_{2}=\frac {1}{2}$
(4)$x_{1}=\sqrt {3},x_{2}=-\frac {2\sqrt {3}}{3}$

5. 新趋势 材料阅读题 阅读材料后解答问题。
例：解方程：$ (4 x - 1)^{2}-10(4 x - 1)+24= 0 $。
解：设 $ 4 x - 1= y $,则原方程可化为 $ y^{2}-10 y + 24= 0 $,解得 $ y_{1}= 6 $,$ y_{2}= 4 $,$ \therefore 4 x - 1= 6 $ 或 $ 4 x - 1= 4 $,$ \therefore x= \frac{7}{4} $ 或 $ x= \frac{5}{4} $,$ \therefore $ 原方程的解为 $ x_{1}= \frac{7}{4} $,$ x_{2}= \frac{5}{4} $。
以上方法叫做“换元法”,达到了化繁为简的目的,体现了转化的思想。
请仿照上例,用“换元法”解答下列问题：
(1) 若 $ (x^{2}+y^{2}+1)(x^{2}+y^{2}-3)= 5 $,则 $ x^{2}+y^{2} $ 的值为4；
(2) 解方程：$ (x^{2}+4 x)^{2}-6(x^{2}+4 x)+5= 0 $。

答案： 解:
(1)4
(2)设$x^{2}+4x=y$,则原方程可化为$y^{2}-6y+5=0$,解得$y_{1}=1,y_{2}=5$.当$y=1$时,$x^{2}+4x=1$,解得$x_{1}=-2+\sqrt {5},x_{2}=-2-\sqrt {5}$;当$y=5$时,$x^{2}+4x=5$,解得$x_{3}=1,x_{4}=-5$,
∴原方程的解为$x_{1}=-2+\sqrt {5},x_{2}=-2-\sqrt {5},x_{3}=1,x_{4}=-5$