《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

7. 若一个一元二次方程的二次项是 $2x^{2}$,经过配方整理,得 $(x - \frac{1}{2})^{2} = 1$,则它的一次项和常数项分别是(C)
A.$-x$,$-\frac{3}{4}$
B.$-2x$,$-\frac{1}{2}$
C.$-2x$,$-\frac{3}{2}$
D.$x$,$-\frac{3}{2}$

答案： C

8. 新趋势 多模块综合 若一三角形的两边长分别是 4 和 2,第三边长是方程 $2x^{2}-9x + 4 = 0$ 的一个根,则这个三角形的周长为10.

答案： 10

9. 已知 $M = 4a - 5$,$N = 2a^{2}-1$($a$ 为任意实数),则 $M$,$N$ 的大小关系为$M＜N$.

答案： $M＜N$

10. (10 分)解下列方程：
(1) $-\frac{1}{4}x^{2}-3x + 1 = 0$；
(2) $2x^{2}+\sqrt{2}x - 3 = 0$.

答案： 解:
(1)$x_{1}=2\sqrt{10}-6$,$x_{2}=-2\sqrt{10}-6$
(2)$x_{1}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{26}}{4}$,$x_{2}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{26}}{4}$

11. (10 分)当 $x$ 为何值时,代数式 $x^{2}-10x + 2$ 的值与代数式 $-3x^{2}+8$ 的值相等？

答案： 解:当$x^{2}-10x+2=-3x^{2}+8$时,整理,得$2x^{2}-5x-3=0$,解得$x_{1}=-\frac{1}{2}$,$x_{2}=3$,$\therefore$当$x$的值为$-\frac{1}{2}$或3时,代数式$x^{2}-10x+2$的值与代数式$-3x^{2}+8$的值相等

12. (12 分)(鞍山立山区一模)如图,要设计一个长为 15 cm,宽为 10 cm 的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度之比为 $5:4$,若要使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度？

答案： 解:设每个横彩条的宽度为$5x\ cm$,则每个竖彩条的宽度为$4x\ cm$.依题意,得$(15-2\cdot5x)(10-2\cdot4x)=15×10×(1-\frac{1}{3})$,整理,得$8x^{2}-22x+5=0$,解得$x_{1}=\frac{1}{4}$,$x_{2}=\frac{5}{2}$(不合题意,舍去),$\therefore5x=\frac{5}{4}$,$4x=1$,$\therefore$每个横彩条的宽度为$\frac{5}{4}\ cm$,每个竖彩条的宽度为1 cm

【例】当 $x = $3时,代数式 $x^{2}-6x + 11$ 有最______小(填“大”或“小”)值______2.

答案： 3 小 2

【变式 1】当 $m = $1时,代数式 $-2m^{2}+4m + 3$ 有最大(填“大”或“小”)值5.

答案： 1 大 5

【变式 2】当 $a = $2,$b = $-3 时,多项式 $2a^{2}+b^{2}-8a + 6b + 20$ 有最小(填“大”或“小”)值3.

答案： 2 -3 小 3