《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

1. (3 分)如图,正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$AO = 3$,则 $AB$ 的长为 (D)

A.2
B.3
C.$\sqrt{6}$
D.$3\sqrt{2}$

答案： D

2. (3 分)(辽阳期末)如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 是对角线 $AC$ 上的一点,且 $AB = AE$,则 $\angle CBE$ 的度数是 (C)

A.$45^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$22.5^{\circ}$
D.$20^{\circ}$

答案： C

3. (3 分)(沈阳铁西区期末)如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 4,点 $A$ 的坐标为 $(-1,1)$,$AB$ 平行于 $x$ 轴,则点 $C$ 的坐标为 (D)

A.$(2,5)$
B.$(3,1)$
C.$(-1,4)$
D.$(3,5)$

答案： D

4. (3 分)如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 1,则正方形 $ACEF$ 的面积为2。

答案： 2

5. (4 分)(辽宁省实验中学达人赛)如图,在正方形 $ABCD$ 的右侧作等边三角形 $CDE$,连接 $AE$,则 $\angle BAE$ 的度数是75°。

答案： 75°

6. (4 分)如图,点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 内位于对角线 $AC$ 下方的一点,$\angle 1 = \angle 2$,则 $\angle BPC$ 的度数为135°。

答案： 135°

7. (8 分)如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是边 $DC$ 和边 $CB$ 的延长线上的点,且 $DE = BF$,连接 $AE$,$AF$,求证：$AE = AF$。

答案： 证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°,
∴∠ABF=90°=∠D.又
∵DE=BF,
∴△ABF≌△ADE(SAS),
∴AE=AF

8. (12 分)(教材 P22 习题 1.7T2 变式)如图,四边形 $ABCD$ 是正方形,$\triangle EBC$ 是等边三角形。
(1) 求证：$\triangle ABE \cong \triangle DCE$；
(2) 求 $\angle AED$ 的度数。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE,∠ABC=∠BCD=90°,∠EBC=∠ECB=60°,
∴∠ABE=∠DCE=30°,
∴△ABE≌△DCE(SAS)
(2)
∵BA=BE,∠ABE=30°,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$(180°−∠ABE)=$\frac{1}{2}$×(180°−30°)=75°.又
∵∠BAD=90°,
∴∠EAD=∠BAD−∠BAE=90°−75°=15°,同理可得∠ADE=15°,
∴∠AED=180°−∠EAD−∠ADE=180°−15°−15°=150°