《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

10. 若 $ x_1 + x_2 = 3 $,$ x_1^2 + x_2^2 = 5 $,则以 $ x_1 $,$ x_2 $ 为根的一元二次方程是(A)
A.$ x^2 - 3x + 2 = 0 $
B.$ x^2 + 3x - 2 = 0 $
C.$ x^2 + 3x + 2 = 0 $
D.$ x^2 - 3x - 2 = 0 $

答案： A

11. 思想方法 整体思想 若 $ m $,$ n $ 是方程 $ x^2 + 2x - 5 = 0 $ 的两个实数根,则 $ m^2 + 4m + 2n $ 的值为(C)
A.$-9$
B.$-1$
C.$1$
D.$9$

答案： C

12. 在解某个关于 $ x $ 的一元二次方程时,甲看错了一次项系数,得出的两个根分别为 $-6$,$-1$；乙看错了常数项,得出的两根分别为 $5$,$2$,则这个方程可以为$x^{2}-7x+6=0$。

答案： $x^{2}-7x+6=0$(答案不唯一)

13. 若实数 $ a $,$ b $ 分别满足 $ 2a^2 - 3a + 1 = 0 $,$ 2b^2 - 3b + 1 = 0 $,且 $ a \neq b $,则 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ 的值为3。

答案： 3

14. (12 分)(鞍山立山区期中)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - x + 2m - 4 = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $,$ x_2 $。
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ (x_1 - 3)(x_2 - 3) = m^2 - 1 $,求 $ m $ 的值。

答案： 解:
(1)根据题意,得$\Delta=(-1)^{2}-4(2m-4)=17-8m\geqslant0$,解得$m\leqslant\frac{17}{8}$
(2)由根与系数的关系可知$x_{1}+x_{2}=1$,$x_{1}x_{2}=2m-4$,$\therefore (x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9=2m-4-3+9=m^{2}-1$,$\therefore m^{2}-2m-3=0$,解得$m_{1}=-1$,$m_{2}=3$.又$\because m\leqslant\frac{17}{8}$,$\therefore m=-1$

15. (12 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 4x - 2k + 8 = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $,$ x_2 $。
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)若 $ x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3 = 24 $,求 $ k $ 的值。

答案： 解:
(1)由题意,得$\Delta=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-2k+8)=8k-16\geqslant0$,解得$k\geqslant2$
(2)由题意,得$x_{1}+x_{2}=4$,$x_{1}x_{2}=-2k+8$,$\therefore x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}=x_{1}x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=x_{1}x_{2}\cdot[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}]=(-2k+8)[4^{2}-2(-2k+8)]=-8k^{2}+32k=24$,解得$k_{1}=3$,$k_{2}=1$(舍去),$\therefore k=3$

16. (14 分)已知 $ x_1 $,$ x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2x + k - 1 = 0 $ 的两实数根。
(1)若 $ x_1 + 2x_2 = 5 $,求 $ k $ 的值；
(2)是否存在实数 $ k $,使得 $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = x_1^2 + 2x_2 - 1 $？若存在,请求出 $ k $ 的值；若不存在,请说明理由。

答案： 解:根据题意,得$\Delta=(-2)^{2}-4(k-1)\geqslant0$,$x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=k-1$,解得$k\leqslant2$.
(1)$\because x_{1}+2x_{2}=2+x_{2}=5$,$\therefore x_{2}=3$,$\therefore x_{1}=-1$,$\therefore x_{1}x_{2}=-3$,即$k-1=-3$,$\therefore k=-2$
(2)存在,理由如下:由题意,得$x_{1}^{2}-2x_{1}+k-1=0$,$\therefore x_{1}^{2}=2x_{1}-k+1$.又$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=x_{1}^{2}+2x_{2}-1$,$\therefore \frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=2x_{1}-k+1+2x_{2}-1=2(x_{1}+x_{2})-k$,$\therefore \frac{2^{2}-2(k-1)}{k-1}=4-k$,解得$k=2$或$k=5$(不合题意,舍去),$\therefore$存在实数$k=2$,使得$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=x_{1}^{2}+2x_{2}-1$