《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 6$,$BC = 8$,点 $D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点,点 $F$ 在 $DE$ 上,且 $∠AFB = 90^{\circ}$,则 $EF = $ 1。

答案： 1

9. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,以对角线 $AC$ 为一边作菱形 $AEFC$,则 $∠FAB$ 的度数为 (A)

A.$22.5^{\circ}$
B.$28.5^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35.5^{\circ}$

答案： A

10. 如图,正方形 $OABC$ 的边 $OA$,$OC$ 分别在 $x$ 轴、$y$ 轴上,等边 $\triangle CDE$ 的顶点 $D$,$E$ 分别在 $OA$,$AB$ 上,连接 $AC$ 交 $DE$ 于点 $F$,若 $AD = 4$,则点 $F$ 的坐标为 (2$\sqrt{3}$,2)。

答案： (2$\sqrt{3}$,2)

11. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$BD$ 是对角线,$AO⊥BD$ 于点 $O$,$OE⊥BC$ 于点 $E$,$OF⊥CD$ 于点 $F$。
(1)求证：四边形 $OECF$ 是正方形；
(2)若 $AD = 4$,求正方形 $OECF$ 的面积。

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠C=90°，∠OBC=∠ODC=45°.又
∵AO⊥BD，
∴OB=OD.又
∵OE⊥BC，OF⊥DC，
∴∠OEB=∠OEC=∠OFC=∠OFD=90°，
∴四边形OECF是矩形，△OBE≌△ODF (AAS)，
∴OE=OF，
∴矩形OECF是正方形
(2)
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD=4，∠ODF=45°，
∴∠DOF=90° - ∠ODF=45°=∠ODF，
∴DF=OF.又
∵四边形OECF是正方形，
∴OF=CF，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴$S_{正方形OECF}$=CF²=4

12. (沈阳二模)如图,四边形 $ABCD$ 是正方形,以 $CD$ 为边长向正方形外作等边 $\triangle CDE$,$AC$ 与 $BE$ 相交于点 $F$,则 $∠AFD$ 的度数为 (B)

A.$65^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： B

13. (本溪中考模拟)如图,矩形 $ABCD$ 的边 $AD$ 的长为 $6$,将 $\triangle ACD$ 沿对角线 $AC$ 翻折得到 $\triangle ACD'$,$CD'$ 与 $AB$ 相交于点 $E$,再以 $CD'$ 为折痕将 $\triangle BCE$ 进行翻折得到 $\triangle B'CE$,若两次折叠后点 $B'$ 恰好落在 $\triangle ACD$ 的边上,则 $AB$ 的长为 6$\sqrt{3}$或6$\sqrt{2}$+6。

答案： 6$\sqrt{3}$或6$\sqrt{2}$+6

14. (沈阳和平区五模)如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,过点 $D$ 作 $DE// AC$,且 $DE = \frac{1}{2}AC$,连接 $CE$。
(1)求证：四边形 $OCED$ 是矩形；
(2)连接 $AE$,若菱形 $ABCD$ 的边长为 $8$,$∠ABC = 60^{\circ}$,求 $AE$ 的长。

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=DE，AC⊥BD，
∴∠COD=90°.又
∵DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形.又
∵∠COD=90°，
∴▱OCED是矩形
(2)
∵菱形ABCD的边长为8，
∴AB=BC=AD=8.又
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=8，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴OD=$\sqrt{AD^2 - OA^2}$=4$\sqrt{3}$.又
∵四边形OCED是矩形，
∴CE=OD=4$\sqrt{3}$，∠OCE=90°，
∴AE=$\sqrt{AC^2 + CE^2}$=4$\sqrt{7}$