《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

9. 如图,$DE与AF分别为\triangle ABC$的中位线与中线,在下列条件中能够判定四边形$ADFE$为矩形的是(D)

A.$AB= AC$
B.$AF\perp BC$
C.$\angle BAF= \angle CAF$
D.$BC= 2AF$

答案： D

10. 新趋势 动点问题 如图,$□ ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,且$AC= 8cm$,$BD= 12cm$,动点$E以1cm/s的速度从点B出发沿BD$方向运动,同时动点$F也以同样的速度从点D出发沿DB$方向运动,则经过2 或 10s后四边形$AECF$是矩形.

答案： 2 或 10

11. (12分)新趋势 开放性问题 如图,四边形$ABCD$为平行四边形,延长$AD至点E$,使$DE= AD$,连接$BD$,$BE$,$CE$,请你添加一个条件：AB=BE,使$□ BCED$成为矩形,并说明理由.

答案： 解：答案不唯一，如：添加的条件为 AB=BE，理由如下：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，AD=BC，
∴DE//BC.又
∵AD=DE，
∴DE=BC，
∴四边形 BCED 为平行四边形.又
∵AB=BE，
∴CD=BE，
∴□BCED 是矩形

12. (14分)(铁岭银州区期末)如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$AE\perp BD于点E$,$DF\perp AC于点F$,且$AE= DF$.
(1)求证：四边形$ABCD$是矩形；
(2)若$\angle BAE:\angle EAD= 4:5$,求$\angle EAO$的度数.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD.
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO=∠DFO=90°.又
∵∠AOE=∠DOF，AE=DF，
∴△AEO≌△DFO(AAS)，
∴OA=OD，
∴AC=BD，
∴□ABCD 是矩形
(2)由
(1)得四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，又
∵∠BAE：∠EAD=4：5，
∴∠BAE=$\frac{4}{9}$∠BAD=40°.又
∵AE⊥BD，
∴∠OAB=∠OBA=90°-∠BAE=50°，
∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=10°

13. (18分)新趋势 探究性问题 (辽阳九中期中)如图,在$\triangle ABC$中,点$O是边AC$上的一动点,过点$O作直线l// BC$,直线$l分别交\angle ACB及其外角\angle ACD的平分线于点E$,$F$.
(1)求证：$OE= OF$；
(2)连接$AE$,$AF$,当点$O运动到何处时四边形AECF$是矩形？请证明你的结论.

答案： 解：
(1)证明：
∵直线 l//BC，CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD，
∴∠OEC=∠ACE=∠BCE，∠OFC=∠FCD=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF
(2)当 O 运动到 AC 的中点时四边形 AECF 是矩形，证明：
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形 AECF 是平行四边形.又
∵OA=OC=OE=OF，
∴OA+OC=OE+OF，即 AC=EF，
∴□AECF 是矩形