《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

1. (4分)如图,在$□ ABCD$中,添加下列条件,不能使$□ ABCD$成为正方形的是(B)

A.$AB = BC$,$\angle ABC = 90°$
B.$\angle ABC = 90°$,$AC = BD$
C.$AB = BC$,$AC = BD$
D.$AC = BD$,$AC \perp BD$

答案： B

2. (8分)如图,四边形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,且$OA = OB = OC = OD = 1$,$AB = \sqrt{2}$,求证：四边形$ABCD$是正方形.

答案： 证明:
∵OA=OB=OC=OD=1，
∴四边形ABCD是平行四边形，OA²+OB²=2=AB²，
∴∠AOD=∠AOB=90°，
∴AD=√(OA²+OD²)=√2=AB，∠OAB=∠OBA=45°，∠OAD=∠ODA=45°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=90°，
∴▱ABCD是正方形

3. (4分)如图,下列条件：①$AC \perp BD$；②$\angle BAD = 90°$；③$AB = BC$；④$AC = BD$.添加一个能使菱形$ABCD$是正方形的有(C)

A.①③
B.②③
C.②④
D.①②③

答案： C

4. (4分)如图,四边形$ABCD$是菱形,则只须补充一个条件：AC=BD(答案不唯一)就可以判定四边形$ABCD$是正方形.

答案： AC=BD(答案不唯一)

5. (8分)(教材P25习题1.8T3变式)如图,有4个动点$P$,$Q$,$E$,$F分别从正方形ABCD$的4个顶点出发,沿着$AB$,$BC$,$CD$,$DA以同样的速度向B$,$C$,$D$,$A$四点移动,求证：四边形$PQEF$是正方形.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.又
∵AP=BQ=CE=DF，
∴BP=QC=ED=FA，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠BQP，
∴四边形PQEF是菱形，
∴∠APF+∠BPQ=∠BQP+∠BPQ=90°，
∴∠FPQ=90°，
∴菱形PQEF为正方形

6. (4分)下列条件能使如图所示的矩形$ABCD$成为正方形的是(D)

A.$AC = BD$
B.$AB \perp BC$
C.$AD = BC$
D.$AC \perp BD$

答案： D

7. (8分)如图,将矩形纸片$ABCD沿直线AE$折叠,点$B的对应点B_1落在边CD$上,求证：四边形$ABEB_1$是正方形.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°.又由折叠的性质可得AB=AB₁，∠AB₁E=∠B=90°=∠BAD，
∴四边形ABEB₁是矩形.又
∵AB=AB₁，
∴矩形ABEB₁是正方形