《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

9. (青岛中考)如图,$O$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的中点,$\triangle ACE$ 为等边三角形,若 $AB = 2$,则 $OE$ 的长度为 (B)

A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： B

10. (锦州七中期中)如图,在正方形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$E$ 为 $BC$ 上的一点,$CE = 7$,$F$ 为 $DE$ 的中点,若 $\triangle CEF$ 的周长为 32,则 $OF$ 的长为$\frac{17}{2}$。

答案： $\frac{17}{2}$

11. (沈阳沈北新区期末)在平面直角坐标系中,正方形 $ABCD$ 如图所示,点 $A$ 的坐标是 $(-1,0)$,点 $D$ 的坐标为 $(-2,4)$,则点 $C$ 的坐标为______。

(2,5)

答案： (2,5)

12. (14 分)(教材 P25 习题 1.8T2 变式)如图,$E$,$F$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的两点,且 $AF = CE$。
(1) 求证：四边形 $BEDF$ 是菱形；

(2) 若正方形的边长为 4,$AE = \sqrt{2}$,求菱形 $BEDF$ 的面积。

答案：

(1)证明:连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC.又
∵AF=CE,
∴AF - AO=CE - CO,即OF=OE,
∴四边形BEDF为平行四边形.
又
∵BD⊥EF,
∴▱BEDF为菱形

(2)
∵正方形的边长为4，
∴BD=AC=4$\sqrt{2}$
又
∵OE=OF,OA=OC,
∴AE=CF=$\sqrt{2}$,
∴EF=2$\sqrt{2}$,
∴S菱形BEDF=$\frac{1}{2}$BD·EF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=8

13. (18 分)新趋势 探究性问题(沈阳铁西区月考)如图,点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $AD$ 上的一点(不与点 $A$,$D$ 重合),连接 $CE$,以 $CE$ 为一边作正方形 $CEFG$,使点 $F$,$G$ 与点 $A$,$B$ 在 $CE$ 的两侧,连接 $BE$ 并延长,交 $GD$ 的延长线于点 $H$。
(1) 请判断线段 $BE$ 与 $GD$ 的数量关系和位置关系,并说明理由；
(2) 连接 $BG$,若 $AB = 2$,$CE = \sqrt{5}$,请你直接写出 $\sqrt{DE^{2} + BG^{2}}$ 的值。

答案：

(1)BE=DG,BE⊥DG,理由如下:
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC,∠BCD=∠ECG=90°,EC=GC,
∴∠ECB=∠GCD,
∴△ECB≌△GCD(SAS),
∴BE=DG,∠EBC=∠GDC.又
∵∠ABE+∠EBC=90°,∠HDE+∠GDC=90°,
∴∠ABE=∠HDE.又
∵∠AEB=∠HED,
∴∠H=∠A=90°,
∴BE⊥DG

(2)连接BD,EG,则DH²+BH²=BD²=BC²+CD²=2²+2²=8,EH²+HG²=EG²=CG²+CE²=($\sqrt{5}$)²+($\sqrt{5}$)²=10,
∴BG²+DE²=BH²+HG²+EH²+DH²=8+10=18,
∴$\sqrt{DE²+BG²}$=3$\sqrt{2}$