《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

1. (5 分)如图,已知点 $ P $ 将线段 $ AB $ 黄金分割,且 $ AP ＞ BP $,则下列结论中不正确的是 (D)

A.$\frac{AP}{BP} = \frac{AB}{AP}$
B.$ AP \approx 0.618AB $
C.$ AP = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB $
D.$ BP = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB $

答案： D

2. (5 分)如图,已知点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点$(AC ＞ BC)$,$ AB = 4 $,则 $ AC = $$2\sqrt{5}-2$.

答案： $2\sqrt{5}-2$

3. (5 分)【易错】主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,若舞台 $ AB $ 的长为 $ 12 $ m,一名主持人现在站在 $ A $ 处,要想主持效果最理想,则他至少要走$(18 - 6\sqrt{5})$m.

答案： $(18 - 6\sqrt{5})$

4. (8 分)新情境 生产生活 某品牌的汽车为了打造更加精美的外观,特意将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(如图),若车头与倒车镜的水平距离为 $ 2 $ m,求该车车身的总长(倒车镜到车尾部分较长,结果保留根号).

答案： 解:设该车车身的总长为x m,根据题意，得$x - \frac{\sqrt{5} - 1}{2}x = 2$，解得$x = 3 + \sqrt{5}$，
∴该车车身的总长为$(3 + \sqrt{5})$m

5. (6 分)(教材 P98 习题 4.8T1 变式)如图,乐器上的一根弦 $ AB = 80 $ cm,两个端点 $ A $,$ B $ 固定在乐器板面上,支撑点 $ C $ 是靠近点 $ B $ 的黄金分割点,支撑点 $ D $ 是靠近点 $ A $ 的黄金分割点,则 $ C $,$ D $ 两点之间的距离为 (D)

A.$ (40\sqrt{5} - 40) $ cm
B.$ (120 - 40\sqrt{5}) $ cm
C.$ (80\sqrt{5} - 80) $ cm
D.$ (80\sqrt{5} - 160) $ cm

答案： D

6. (6 分)如图,已知点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点,且 $ BC ＞ AC $.若 $ S_1 $ 表示以 $ BC $ 为边的正方形的面积,$ S_2 $ 表示长为 $ AB $,宽为 $ AC $ 的矩形的面积,则 $ S_1 $ 与 $ S_2 $ 的大小关系为$S_{1}=S_{2}$.

答案： $S_{1}=S_{2}$

7. (15 分)如图,用边长为 $ 10 $ 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $ ABCD $ 得折痕 $ EF $,连接 $ CE $,将 $ CB $ 折叠到 $ CE $ 上,点 $ B $ 对应点 $ H $,得折痕 $ CG $,试说明：$ G $ 是 $ AB $ 的黄金分割点.

答案： 解:延长EA,CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AB// CD$，$DM// BC$，
∴易证$\triangle MAG\backsim \triangle MDC$，$\angle EMC = \angle BCG = \angle ECM$，
∴$EM = EC = \sqrt{DE^{2} + DC^{2}} = \sqrt{5^{2} + 10^{2}} = 5\sqrt{5}$，
∴$AM = EM - AE = 5\sqrt{5} - 5$，$DM = DE + EM = 5\sqrt{5} + 5$，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{CD}=\frac{AM}{DM}=\frac{5\sqrt{5} - 5}{5\sqrt{5} + 5}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{BG}{AB}=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
∴G是AB的黄金分割点