《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

7. (沈阳东北育才外国语学校调研)如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E在AB边上,CE交AD于点F,∠ACE = ∠B,则下列结论中不正确的是 (C)

A.△ACF∽△ABD
B.△ACE∽△ABC
C.△AEF∽△CDF
D.△AEF∽△ACD

答案： C

8. 新趋势 开放性问题如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别是边AB,AC上的点,且AC = 3AD,AB = 3AE,F为BC边上的一点,请添加一个条件∠BFD=∠A(答案不唯一),使△BDF与△ADE相似.

答案： ∠BFD=∠A(答案不唯一)

9. (甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,AB = 6 cm,BC = 9 cm,点E,F分别在边AB,BC上,AE = 2 cm,BD,EF交于点G,若G是EF的中点,则BG = $\sqrt{13}$cm.

答案： $\sqrt{13}$

10. (14分)(教材P102习题4.9T3变式)如图,在△ABC中,点D,E是边AB上的点,CD平分∠ECB,且BC^2 = BD·BA.求证:
(1)△CED∽△ACD;
(2)$\frac{AB}{BC} = \frac{CE}{ED}$.

答案： 证明:
(1)
∵$BC^2=BD·BA$,
∴BD:BC=BC:BA.又
∵∠B是公共角，
∴△BCD∽△BAC,
∴∠BCD=∠A.
∵CD平分∠ECB，
∴∠ECD=∠BCD,
∴∠ECD=∠A.又
∵∠EDC=∠CDA,
∴△CED∽△ACD
(2)
∵△BCD∽△BAC,△CED∽△ACD,
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AC}{CD}$,$\frac{CE}{ED}$=$\frac{AC}{CD}$,
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{CE}{ED}$

11. (18分)新趋势 动点探究题(教材P102习题4.9T4变式)如图,Rt△ABC的两条直角边AB = 4 cm,AC = 3 cm,动点D沿AB边从点A向点B运动,速度是1 cm/s,同时动点E沿BC边从点B向点C运动,速度为2 cm/s.动点E到达点C时运动终止,设运动的时间为t s.连接CD,DE.
(1)当t = ______时△BDE与△ABC相似;
(2)当t为何值时CD⊥DE?

答案：
解:
(1)$\frac{20}{13}$或$\frac{8}{7}$
(2)过点E作EF⊥AB于点F,则∠BFE=∠BAC=90°.又
∵∠EBF=∠CBA,
∴△BEF∽△BCA,
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BF}{BA}$=$\frac{EF}{AC}$，
∴$\frac{2t}{5}$=$\frac{BF}{4}$=$\frac{EF}{3}$,
∴BF=$\frac{8}{5}$tcm,EF=$\frac{6}{5}$tcm,
∴DF=AB−AD−BF=4−t−$\frac{8}{5}$t=(4−$\frac{13}{5}$t)cm.
∵CD⊥DE,
∴∠ADC+∠EDF=90°.又
∵∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠FDE.又
∵∠CAD=∠DFE=90°,
∴△CAD∽△DFE,
∴$\frac{AC}{4 - \frac{13}{5}t}$=$\frac{t}{\frac{6}{5}t}$,
∴t=$\frac{2}{13}$,
∴当t的值为$\frac{2}{13}$时CD⊥DE