《2025年四清导航九年级数学上册北师大版辽宁专版》

1. (朝阳龙城区期末) 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, 点 $ D, E $ 分别在边 $ AB, AC $ 上, 若 $ DE // BC, \frac{AD}{DB} = \frac{2}{3} $, $ DE = 6 cm $, 则 $ BC $ 的长为 (C)

A.$ 9 cm $
B.$ 12 cm $
C.$ 15 cm $
D.$ 18 cm $

答案： C

2. 如图, 在 $ □ ABCD $ 中, $ F $ 是 $ AD $ 上的一点, $ CF $ 交 $ BD $ 于点 $ E $, $ CF $ 的延长线交 $ BA $ 的延长线于点 $ G $, $ EF = 1 $, $ EC = 3 $, 则 $ GF $ 的长为 2。

答案： 8

3. 新情境 生产生活 如图, $ AB, CD $ 表示两根直立于地面的电线杆, $ AD, BC $ 表示两根拉紧的起固定作用的斜拉线, $ AD $ 和 $ BC $ 交于点 $ P $, 测量得电线杆 $ AB = 6 m $, 点 $ P $ 距地面的高度 $ PM = 4 m $, 求电线杆 $ CD $ 的高度。

答案： 解:由题意可知AB//PM//CD，
∴∠DPM=∠DAB,∠PAB=∠PDC.又
∵∠PDM=∠ADB,∠APB=∠DPC,
∴△DPM∽△DAB,△PAB∽△PDC,
∴$\frac{DP}{DA}$=$\frac{PM}{AB}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AP}{DP}$=$\frac{1}{2}$,
∴CD=2AB=12(m),
∴电线杆CD的高度为12m

4. 如图, $ D, E $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AB, AC $ 上的点, 且 $ \angle ADE = \angle C $, 若 $ AD = 4 $, $ AB = 12 $, $ AC = 8 $, 则 $ AE = $ 6。

答案： 6

5. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 2 \angle B $, 边 $ BC $ 的垂直平分线 $ DE $ 交 $ AB $ 于点 $ D $, 垂足为 $ E $, 若 $ AD = 4 $, $ BD = 6 $, 则 $ BC $ 的长为 3$\sqrt{10}$。

答案： 3$\sqrt{10}$

6. 如图, $ D, E $ 分别为 $ \triangle ABC $ 的边 $ AC, AB $ 上的点, $ BD, CE $ 相交于点 $ O $, 且 $ \frac{OE}{OB} = \frac{OD}{OC} $, 求证: $ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $。

答案： 证明:
∵$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OD}{OC}$,∠BOE=∠COD,∠DOE=∠COB,
∴△BOE∽△COD,△DOE∽△COB,
∴∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO.又
∵∠ADE=∠DCO+∠DEO,∠ABC=∠EBO+∠CBO,
∴∠ADE=∠ABC.又
∵∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC