《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

22. (10分)如图(1),已知$∠EAC = 90^{\circ}$,$∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$,$∠1 = ∠3$,$∠2 = ∠4$,求证：
(1)$DE // BC$；
(2)若将图形改变为(2)(3)(4),其他条件不变,(1)的结论是否成立？若成立,请选择一个图形予以证明,若不成立,说明理由。

答案：
22. 解：（1）如图1，
$\because \angle 1 = \angle 3$，$\angle₂ = \angle 4$，
$\therefore \angle 1 + \angle 3 + \angle 2 + \angle 4 = 2(\angle 1 + \angle 2)$，
$\because \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle 1 + \angle 3 + \angle 2 + \angle 4 = 180°$；
$\because \angle D + \angle B + \angle 1 + \angle 3 + \angle 2 + \angle 4 = 360^{\circ}$，
$\therefore \angle D + \angle B = 180^{\circ}$，$\therefore DE // BC$。
（2）成立。证明不唯一，示例：
如图2，连接$EC$；
$\because \angle 1 = \angle 3$，$\angle 2 = \angle 4$，且$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle 3 + \angle 4 = \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$；
$\because \angle EAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEC + \angle ACE = 180^{\circ} - ⁹0^{\circ} = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEC + \angle ACE + \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$，
即（1）中的结论仍成立。

23. (10分)阅读下列解答过程：如图甲,$AB // CD$,探索$∠APC与∠BAP$、$∠PCD$之间的关系。

解：过点P作$PE // AB$。$\because AB // CD$,
$\therefore PE // AB // CD$(平行于同一条直线的两条直线互相平行)。
$\therefore ∠1 + ∠A = 180^{\circ}$(两直线平行,同旁内角互补),
$∠2 + ∠C = 180^{\circ}$(两直线平行,同旁内角互补),
$\therefore ∠1 + ∠A + ∠2 + ∠C = 360^{\circ}$。
又$\because ∠APC = ∠1 + ∠2$,
$\therefore ∠APC + ∠A + ∠C = 360^{\circ}$,
如图乙和图丙,$AB // CD$,请根据上述方法分别探索两图中$∠APC与∠BAP$、$∠PCD$之间的关系。

答案：
23. 解：图乙，$\angle APC = \angle A + \angle C$，理由是：
过点$P$作$PE // AB$，$\because AB // CD$，$\therefore AB // PE // CD$，
$\therefore \angle A = \angle APE$，$\angle C = \angle CPE$，
$\therefore \angle APC = \angle APE + \angle CPE = \angle A + \angle C$；
图丙，$\angle APC = \angle PCD - \angle PAB$，
理由是：$\because AB // CD$，$\therefore \angle PCD = \angle POB$，
$\because \angle POB = \angle PAB + \angle APC$，
$\therefore \angle APC = \angle POB - \angle PAB = \angle PCD - \angle PAB$。