《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

14. 如图,直线$AB // CD$,$∠B = 23^{\circ}$,$∠D = 42^{\circ}$,则$∠E = $(C)

A.$23^{\circ}$
B.$42^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$19^{\circ}$

答案： 14. C

15. (6分)如图所示的是长方形台球桌面上一次击球路线,如果$∠1 = ∠2 = 30^{\circ}$,那么$∠3$等于多少度？$∠1与∠3$有什么关系？

答案： 解：由题意知，长方形台球桌的角为直角，即$90^{\circ}$。
因为$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$，且$\angle 1 = \angle 2 = 30^{\circ}$，
所以$\angle 3 = 90^{\circ} - \angle 1 - \angle 2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$。
又因为$\angle 1 + \angle 3 = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \neq 90^{\circ}$，$180^{\circ}$，所以原参考答案有误，经修正得$\angle 3 = 30^{\circ}$，$\angle 1$与$\angle 3$相等。
（注：此处根据图形实际情况修正，若图形中$\angle 1$和$\angle 2$与$\angle 3$构成直角，则正确计算应为$\angle 3 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$，此时$\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$互余。可能原解析中“$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$”为笔误，正确应为“$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$”，故最终以标准答案为准）
解：因为长方形的角为直角，$\angle 2$与$\angle 3$互余，$\angle 2 = 30^{\circ}$，所以$\angle 3 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
$\angle 1 + \angle 3 = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$，所以$\angle 1$与$\angle 3$互余。
答：$\angle 3 = 60^{\circ}$，$\angle 1$与$\angle 3$互余。

16. (6分)如图,直线$a // b$,BC平分$∠ABD$,$DE \perp BC$,若$∠1 = 70^{\circ}$,求$∠2$的度数。

答案： 解：$\because$直线$a // b$，
$\therefore \angle 1 = \angle ABD = 70^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
$\because BC$平分$\angle ABD$，
$\therefore \angle EBD = \frac{1}{2}\angle ABD = \frac{1}{2} × 70^{\circ} = 35^{\circ}$。
$\because DE \perp BC$，
$\therefore \angle BED = 90^{\circ}$（垂直定义）。
在$\triangle BED$中，$\angle 2 + \angle EBD + \angle BED = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle 2 = 180^{\circ} - \angle EBD - \angle BED = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 90^{\circ} = 55^{\circ}$。
答：$\angle 2$的度数为$55^{\circ}$。

17. (7分)如图所示,直线AB,CD相交于点O,OD平分$∠AOF$,$OE \perp CD$于点O,$∠1 = 50^{\circ}$,求$∠COB与∠BOF$的度数。

答案： 解：$\because OE \perp CD$，
$\therefore \angle DOE = 90^{\circ}$。
$\because \angle 1 = 50^{\circ}$，
$\therefore \angle AOD = \angle DOE - \angle 1 = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$。
$\because$ 直线$AB$，$CD$相交于点$O$，
$\therefore \angle COB = \angle AOD = 40^{\circ}$。
$\because OD$平分$\angle AOF$，
$\therefore \angle AOF = 2\angle AOD = 2× 40^{\circ} = 80^{\circ}$。
$\because$ 点$A$，$O$，$B$在同一直线上，
$\therefore \angle AOB = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle BOF = \angle AOB - \angle AOF = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$。
答：$\angle COB$的度数为$40^{\circ}$，$\angle BOF$的度数为$100^{\circ}$。

18. (8分)如图,在方格纸中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,有一个$\triangle ABC$,它的三个顶点均与小正方形的顶点重合。
(1)将$\triangle ABC$向右平移3个单位长度,得到$\triangle DEF$(A与D、B与E、C与F对应),请在方格纸中画出$\triangle DEF$；
(2)在(1)的条件下,连接AE和CE,请直接写出$\triangle ACE$的面积S,并判断B是否在边AE上。

答案：
18. 解：（1）如图所示；
（2）由图可知，$S = 5 × 4 - \frac{1}{2} × 4 × 1 - \frac{1}{2} × 2 × 4 - \frac{1}{2} × 2 × 5 = 20 - 2 - 4 - 5 = 9$，根据图形可知，点$B$不在$AE$边上。