《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

22. (9分)新学期开学,两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在讲台上,请根据图中所给的数据信息,解答下列问题.
(1)一本数学课本的高度是多少厘米?
(2)讲台的高度是多少厘米?
(3)请写出整齐叠放在桌面上的x本数学课本距离地面的高度的代数式(用含用x的代数式表示)
(4)若桌面上有56本同样的数学课本,整齐叠放成一摞,从中取走18本后,求余下的数学课本距离地面的高度.

答案： 解：
(1) 由题意可得，
一本数学课本的高度是：$ ( 88 - 86.5 ) ÷ 3 = 1.5 ÷ 3 = 0.5 $ (厘米)，
答：一本数学课本的高度是 $ 0.5 $ 厘米；
(2) 讲台的高度是：$ 86.5 - 3 × 0.5 = 86.5 - 1.5 = 85 $ (厘米)，
即讲台的高度是 $ 85 $ 厘米；
(3) 整齐叠放在桌面上的 $ x $ 本数学课本距离地面的高度是：$ ( 85 + 0.5 x ) $ 厘米；
(4) 余下的数学课本距离地面的高度：$ 85 + ( 56 - 18 ) × 0.5 = 85 + 38 × 0.5 = 85 + 19 = 104 $ (厘米)；
即余下的数学课本距离地面的高度是 $ 104 $ 厘米。

23. (内江中考)(12分)观察下列等式:
第一个等式:
$a_{1}= \frac {2}{1+3×2+2×2^{2}}= \frac {1}{2+1}-\frac {1}{2^{2}+1}$
第二个等式:
$a_{2}= \frac {2^{2}}{1+3×2^{2}+2×(2^{2})^{2}}= \frac {1}{2^{2}+1}-\frac {1}{2^{3}+1}$
第三个等式:
$a_{3}= \frac {2^{3}}{1+3×2^{3}+2×(2^{3})^{2}}= \frac {1}{2^{3}+1}-\frac {1}{2^{4}+1}$
第四个等式:
$a_{4}= \frac {2^{4}}{1+3×2^{4}+2×2(2^{4})^{2}}= \frac {1}{2^{4}+1}-\frac {1}{2^{5}+1}$
按上述规律,回答下列问题:
(1)请写出第六个等式:$a_{6}=$$\frac {2^{6}}{1+3×2^{6}+2×(2^{6})^{2}}$=$\frac {1}{2^{6}+1}-\frac {1}{2^{7}+1}$;
(2)用含n的代数式表示第n个等式:$a_{n}=$$\frac {2^{n}}{1+3×2^{n}+2×(2^{n})^{2}}$=$\frac {1}{2^{n}+1}-\frac {1}{2^{n+1}+1}$;
(3)$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=$$\frac {14}{43}$(得出最简结果);
(4)计算:$a_{1}+a_{2}+... +a_{n}$.
$\frac {2^{n+1}-2}{3(2^{n+1}+1)}$

答案： 解：
(1) 由题意知，$ a _ { 6 } = \frac { 2 ^ { 6 } } { 1 + 3 × 2 ^ { 6 } + 2 × ( 2 ^ { 6 } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 ^ { 6 } + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 7 } + 1 } $；
(2) $ a _ { n } = \frac { 2 ^ { n } } { 1 + 3 × 2 ^ { n } + 2 × ( 2 ^ { n } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 ^ { n } + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } + 1 } $；
(3) 原式 $ = \frac { 1 } { 2 + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 4 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 4 } + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 5 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 5 } + 1 } - $
$ \frac { 1 } { 2 ^ { 6 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 6 } + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 7 } + 1 } = \frac { 1 } { 2 + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 7 } + 1 } = \frac { 14 } { 43 } $；
(4) 原式 $ = \frac { 1 } { 2 + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } + 1 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n } + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } + 1 } = \frac { 1 } { 2 + 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } + 1 } = $
$ \frac { 2 ^ { n + 1 } - 2 } { 3 ( 2 ^ { n + 1 } + 1 ) } $。