《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

11. 如图所示, 在$\triangle ABC$中, $AB = AD = DC$,$\angle BAD = 26^{\circ}$, 求$\angle B和\angle C$的度数.

答案： 解：在$\triangle ABD$中，
∵$AB=AD$，$\angle BAD=26^{\circ}$，
∴$\angle B=\angle ADB=\frac{180^{\circ}-\angle BAD}{2}=\frac{180^{\circ}-26^{\circ}}{2}=77^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，
∵$AD=DC$，
∴$\angle C=\angle CAD$。
又
∵$\angle ADB$是$\triangle ADC$的外角，
∴$\angle ADB=\angle C+\angle CAD=2\angle C$，
∴$\angle C=\frac{1}{2}\angle ADB=\frac{1}{2}×77^{\circ}=38.5^{\circ}$。
答：$\angle B$的度数为$77^{\circ}$，$\angle C$的度数为$38.5^{\circ}$。

12. 为了测量河两岸相对点$A$,$B$的距离, 小明先在$AB的垂线BF上取两点C$,$D$, 使$CD = BC$, 再作出$BF的垂线DE$, 使$A$,$C$,$E$在同一条直线上(如图所示), 可以证明$\triangle EDC \cong \triangle ABC$, 得$ED = AB$, 因此测得$ED的长就是AB$的长, 判定$\triangle EDC \cong \triangle ABC$的理由是(B)

A.$SAS$
B.$ASA$
C.$SSS$
D.$HL$

答案： B

13. 如图, 已知$\triangle ABC$中, $\angle ABC = 45^{\circ}$,$AC = 4$,$H是高AD和BE$的交点, 则线段$BH$的长度为(B)

A.$\sqrt{6}$
B.$4$
C.$2\sqrt{3}$
D.$5$

答案： B

14. 如图, $\triangle ABC \cong \triangle ADE$,$\angle B = 100^{\circ}$,$\angle BAC = 30^{\circ}$, 那么$\angle AED = $$50^{\circ}$.

答案： $50^{\circ}$

15. 如图, 点$E$、$F在BC$上, $BE = FC$,$AB = DC$,$\angle B = \angle C$. 求证: $\angle A = \angle D$.

答案： 证明：
∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，
∵AB=DC，∠B=∠C，BF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴∠A=∠D。

16. 如图, $\angle A = \angle B$,$AE = BE$, 点$D在AC$边上, $\angle 1 = \angle 2$,$AE和BD相交于点O$.
(1) 求证: $\triangle AEC \cong \triangle BED$;
(2) 若$\angle 1 = 42^{\circ}$, 求$\angle BDE$的度数.

答案：
(1) 证明：因为 $ ∠ADE = ∠1 + ∠C = ∠2 + ∠BDE $，$ ∠1 = ∠2 $，所以 $ ∠C = ∠BDE $。在 $ \triangle AEC $ 和 $ \triangle BED $ 中，$ \left\{\begin{array}{l} ∠C = ∠BDE \\ ∠A = ∠B \\ AE = BE \end{array}\right. $，所以 $ \triangle AEC \cong \triangle BED(AAS) $；
(2) 解：因为 $ \triangle AEC \cong \triangle BED $，所以 $ CE = DE $，所以 $ ∠EDC = ∠C $，所以 $ ∠BDE = ∠C = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 42^{\circ}) = 69^{\circ} $。