《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

22. (9分)如图,直线 $ CB // OA $,$ \angle C = \angle OAB = 120^\circ $,$ E $,$ F $ 在 $ CB $ 上,且满足 $ \angle FOB = \angle AOB $,$ OE $ 平分 $ \angle COF $。
(1)求 $ \angle EOB $ 的度数。
(2)若平行移动 $ AB $,那么 $ \angle OBC : \angle OFC $ 的值是否随之发生变化？若变化,找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值。
(3)在平行移动 $ AB $ 的过程中,是否存在某种情况,使 $ \angle OEC = \angle OBA $？若存在,求出 $ \angle OBA $ 的度数；若不存在,请说明理由。

答案： 解：
(1)$\because CB// OA$，$\therefore \angle AOC = 180° - \angle C = 180° - 120° = 60°$，$\because \angle FOB = \angle AOB$，$OE$平分$\angle COF$，$\therefore \angle EOB = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2}× 60° = 30°$。
(2)$\angle OBC:\angle OFC$的值不会发生变化。
$\because CB// OA$，$\therefore \angle OBC = \angle BOA$，$\angle OFC = \angle FOA$，$\because \angle FOB = \angle AOB$，$\therefore \angle OBC = \angle BOA = \angle FOB$，$\therefore \angle OFC = \angle FOA = 2\angle OBC$，$\therefore \angle OBC:\angle OFC = 1:2$。
(3)存在。$\because CB// AO$，$\therefore \angle OEC = \angle EOA$。
又易证$CO// AB$，$\therefore \angle COB = \angle OBA$，又$\because \angle OEC = \angle OBA$，$\therefore \angle COE = \angle BOA$，$\because \angle FOB = \angle AOB$，$OE$平分$\angle COF$，$\therefore \angle COE = \angle EOF = \angle FOB = \angle AOB = 15°$，$\therefore \angle OBA = \angle COB = 3\angle COE = 45°$。

23. (12分)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 $ C $ 按如图方式叠放在一起(其中,$ \angle A = 60^\circ $,$ \angle D = 30^\circ $；$ \angle E = \angle B = 45^\circ $)：
(1)①若 $ \angle DCE = 45^\circ $,则 $ \angle ACB $ 的度数为______135°；
②若 $ \angle ACB = 140^\circ $,求 $ \angle DCE $ 的度数；解：$\because \angle ACB = 140°$，$\angle ACD = 90°$，$\therefore \angle DCB = 140° - 90° = 50°$，$\therefore \angle DCE = 90° - 50° = 40°$
(2)由(1)猜想 $ \angle ACB $ 与 $ \angle DCE $ 的数量关系,并说明理由。$\angle ACB + \angle DCE = 180°$。理由如下：$\because \angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = 90° + \angle DCB$，$\therefore \angle ACB + \angle DCE = 90° + \angle DCB + \angle DCE = 90° + 90° = 180°$
(3)当 $ \angle ACE ＜ 180^\circ $ 且点 $ E $ 在直线 $ AC $ 的上方时,这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在,请直接写出 $ \angle ACE $ 角度所有可能的值(不必说明理由)；若不存在,请说明理由。存在，30°，45°，120°，135°，165°

答案： 解：
(1)①$\because \angle ECB = 90°$，$\angle DCE = 45°$，
$\therefore \angle DCB = 90° - 45° = 45°$，
$\therefore \angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = 90° + 45° = 135°$；
②$\because \angle ACB = 140°$，$\angle ACD = 90°$，$\therefore \angle DCB = 140° - 90° = 50°$，$\therefore \angle DCE = 90° - 50° = 40°$；
(2)$\angle ACB + \angle DCE = 180°$。理由如下：
$\because \angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = 90° + \angle DCB$，$\therefore \angle ACB + \angle DCE = 90° + \angle DCB + \angle DCE = 90° + 90° = 180°$；
(3)存在，
当$\angle ACE = 30°$时，$AD// BC$，当$\angle ACE = \angle E = 45°$时，$AC// BE$，当$\angle ACE = 120°$时，$AD// CE$，当$\angle ACE = 135°$时，$BE// CD$，当$\angle ACE = 165°$时，$BE// AD$。