《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

16. (6 分) 把下列各式因式分解:
(1) $3x - 12x^3$;
(2) $-2a^3 + 12a^2 - 18a$;
(3) $9a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$;
(4) $(x + y)^2 + 2(x + y) + 1$.

答案： 解:
(1) $3 x - 12 x ^ { 3 } = 3 x ( 1 - 4 x ^ { 2 } ) = 3 x ( 1 + 2 x ) ( 1 - 2 x )$；
(2) $- 2 a ^ { 3 } + 12 a ^ { 2 } - 18 a = - 2 a ( a ^ { 2 } - 6 a + 9 ) = - 2 a ( a - 3 ) ^ { 2 }$；
(3) $9 a ^ { 2 } ( x - y ) + 4 b ^ { 2 } ( y - x ) = 9 a ^ { 2 } ( x - y ) - 4 b ^ { 2 } ( x - y ) = ( x - y ) ( 9 a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 } ) = ( x - y ) ( 3 a + 2 b ) ( 3 a - 2 b )$；
(4) $( x + y ) ^ { 2 } + 2 ( x + y ) + 1 = ( x + y + 1 ) ^ { 2 }$.

17. (眉山中考) (6 分) 先化简, 再求值: $(a + 3)^2 - 2(3a + 4)$, 其中 $a = -2$.

答案： 解: 原式 $=a^2 + 6a + 9 - 6a - 8$
$=a^2 + 1$
当 $a = -2$ 时，原式 $=(-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

18. (7 分) 先化简再求值: $[(a + \frac{1}{2}b)^2 + (a - \frac{1}{2}b)^2] \cdot (2a^2 - \frac{1}{2}b^2)$, 其中 $a = -3, b = 4$.

答案： 解：$\begin{aligned}&[(a + \frac{1}{2}b)^2 + (a - \frac{1}{2}b)^2] \cdot (2a^2 - \frac{1}{2}b^2)\\=&[a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2 + a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2] \cdot (2a^2 - \frac{1}{2}b^2)\\=&(2a^2 + \frac{1}{2}b^2) \cdot (2a^2 - \frac{1}{2}b^2)\\=&(2a^2)^2 - (\frac{1}{2}b^2)^2\\=&4a^4 - \frac{1}{4}b^4\end{aligned}$
当$a = -3$，$b = 4$时，
$\begin{aligned}&4×(-3)^4 - \frac{1}{4}×4^4\\=&4×81 - \frac{1}{4}×256\\=&324 - 64\\=&260\end{aligned}$
答：化简结果为$4a^4 - \frac{1}{4}b^4$，值为$260$。

19. (7 分) 已知: $a, b, c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长, 且 $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2ac + 2bc$, 试判断 $\triangle ABC$ 的形状, 并证明你的结论.

答案： 解: $\triangle A B C$ 是等边三角形. 证明如下:
因 $2 a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 } = 2 a b + 2 a c + 2 b c$，所以 $2 a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 } - 2 a b - 2 a c - 2 b c = 0$，
$( a - b ) ^ { 2 } + ( a - c ) ^ { 2 } + ( b - c ) ^ { 2 } = 0$，
所以 $( a - b ) ^ { 2 } = 0$，$( a - c ) ^ { 2 } = 0$，$( b - c ) ^ { 2 } = 0$，得 $a = b$ 且 $b = c$，即 $a = b = c$，所以 $\triangle A B C$ 是等边三角形.

20. (8 分) 在日常生活中, 如取款、上网等都需要密码. 有一种用“因式分解”法产生的密码, 方便记忆. 原理是: 如对于多项式 $x^4 - y^4$, 因式分解的结果是 $(x - y)(x + y) \cdot (x^2 + y^2)$, 若取 $x = 9, y = 9$ 时, 则各个因式的值是: $(x - y) = 0, (x + y) = 18, x^2 + y^2 = 162$, 于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 对于多项式 $4x^3 - xy^2$, 取 $x = 10, y = 10$ 时, 请你写出用上述方法产生的密码.

答案： 解: $4 x ^ { 3 } - x y ^ { 2 } = x ( 4 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) = x ( 2 x - y ) ( 2 x + y )$，
再分别计算: $x = 10$，$y = 10$ 时，$x$，$( 2 x - y )$ 和 $( 2 x + y )$ 的值分别为 10，10，30，从而产生密码. 故密码为: 101030，或 103010，或 301010.