《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

【例1】如图,一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中$∠1 = 50^{\circ}$,$∠2 = 50^{\circ}$,$∠3 = 130^{\circ}$,找出图中的平行线,并说明理由。

【解析】本题考查的是平行线的判定,掌握平行线的判定定理：同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行；同旁内角互补,两直线平行是解题的关键。根据同位角相等,两直线平行证明$OB // AC$,根据同旁内角互补,两直线平行证明$OA // BC$。
【解】$OA // BC$,$OB // AC$。
$\because ∠1 = 50^{\circ}$,$∠2 = 50^{\circ}$,$\therefore ∠1 = ∠2$,
$\therefore OB // AC$,
$\because ∠2 = 50^{\circ}$,$∠3 = 130^{\circ}$,
$\therefore ∠2 + ∠3 = 180^{\circ}$,$\therefore OA // BC$。

答案： 【解析】：本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键。根据同位角相等，两直线平行证明$OB// AC$，根据同旁内角互补，两直线平行证明$OA// BC$。
【答案】：$OA// BC$，$OB// AC$。因为$\angle1 = \angle2$，所以$OB// AC$；因为$\angle2+\angle3 = 180^{\circ}$，所以$OA// BC$。

【例2】如图,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池。

(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短并说明根据。
【解析】(1)由两点之间线段最短可知,连接AD、BC交于H,则H为蓄水池位置；
(2)根据垂线段最短可知,要作一个垂直EF的线段。
【解】(1)$\because$两点之间线段最短,
$\therefore$连接AD,BC交于H,则H为蓄水池位置,它到四个村庄距离之和最小。
(2)过H作$HG \perp EF$,垂足为G。
“过直线外一点与直线各点的连接中,垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据。

答案： 【解析】：
(1)由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小。
(2)根据垂线段最短可知，要作一个垂直EF的线段。
【答案】：
(1)连接AD,BC交于H,则H为蓄水池位置,它到四个村庄距离之和最小。
(2)过H作$HG\perp EF$,垂足为G。“过直线外一点与直线各点的连接中,垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据。

【例3】如图,在$\triangle ABC$中,$CD \perp AB$,垂足为D,点E在BC上,$EF \perp AB$,垂足为F。
(1)CD与EF平行吗？为什么？
(2)如果$∠1 = ∠2$,且$∠3 = 115^{\circ}$,求$∠ACB$的度数。
【解析】(1)根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出答案；
(2)先根据已知条件判断出$DG // BC$,再根据两直线平行,同位角相等即可得出结论。
【解】(1)CD与EF平行。理由如下：
$\because CD \perp AB$,$EF \perp AB$,
$\because$垂直于同一直线的两直线互相平行,
$\therefore CD // EF$；
(2)$\because CD // EF$,$\therefore ∠2 = ∠BCD$,
$\because ∠1 = ∠2$,$\therefore ∠1 = ∠BCD$,
$\therefore DG // BC$,
$\therefore ∠ACB = ∠3 = 115^{\circ}$。

答案： 【解析】：
(1)根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出答案。
(2)先根据已知条件判断出$DG// BC$，再根据两直线平行，同位角相等即可得出结论。
【答案】：
(1)$CD$与$EF$平行。理由如下：
$\because CD\perp AB$，$EF\perp AB$，
$\because$垂直于同一直线的两直线互相平行，
$\therefore CD// EF$。
(2)$\because CD// EF$，
$\therefore\angle 2=\angle BCD$，
$\because\angle 1=\angle 2$，
$\therefore\angle 1=\angle BCD$，
$\therefore DG// BC$，
$\therefore\angle ACB=\angle 3=115^{\circ}$。